Чтобы решить задачу, начнем с условия, что выражение (7a + 9b) / (a + 3b) является натуральным числом. Это означает, что дробь должна быть целым числом, то есть (7a + 9b) должно делиться на (a + 3b) без остатка.

Обозначим:

• k = (7a + 9b) / (a + 3b), где k - натуральное число.

Перепишем это уравнение в удобной форме:

• 7a + 9b = k(a + 3b).

Теперь раскроем скобки:

• 7a + 9b = ka + 3kb.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

• (7 - k)a + (9 - 3k)b = 0.

Теперь мы видим, что это линейное уравнение относительно a и b. Для того чтобы оно имело натуральные решения, необходимо, чтобы коэффициенты были связаны определённым образом.

Рассмотрим случай, когда (7 - k) = 0:

• 7 - k = 0 => k = 7.
• Тогда у нас будет (9 - 3*7)b = 0, что означает, что 9 - 21 = -12b = 0, что невозможно для натурального b.

Теперь рассмотрим случай, когда (9 - 3k) = 0:

• 9 - 3k = 0 => k = 3.
• В этом случае (7 - 3)a = 0 => 4a = 0, что также невозможно для натурального a.

Теперь рассмотрим другие значения k, например k = 1, 2, 4, 5, 6 и т.д. Подберем значения:

1. k = 1: (7 - 1)a + (9 - 3*1)b = 0 => 6a + 6b = 0, что невозможно.
2. k = 2: (7 - 2)a + (9 - 3*2)b = 0 => 5a + 3b = 0, что невозможно.
3. k = 4: (7 - 4)a + (9 - 3*4)b = 0 => 3a - 3b = 0 <=> a = b.
4. k = 5: (7 - 5)a + (9 - 3*5)b = 0 => 2a - 6b = 0 <=> a = 3b.
5. k = 6: (7 - 6)a + (9 - 3*6)b = 0 => a - 9b = 0 <=> a = 9b.

Таким образом, возможные значения отношения a/b:

• a/b = 1 (k = 4)
• a/b = 3 (k = 5)
• a/b = 9 (k = 6)

Ответ: возможные значения отношения a/b - 1, 3, 9.