Давайте рассмотрим выражение (9a + 20b) / (a + 4b) и выясним, при каких условиях оно будет натуральным числом. Обозначим это выражение как k, где k - натуральное число. Таким образом, мы можем записать:

(9a + 20b) = k(a + 4b)

Теперь раскроем скобки:

9a + 20b = ka + 4kb

Переносим все слагаемые в одну сторону:

9a - ka + 20b - 4kb = 0

Соберем подобные слагаемые:

(9 - k)a + (20 - 4k)b = 0

Теперь мы видим, что для того, чтобы это уравнение было верным, необходимо, чтобы оба коэффициента были равны нулю, так как a и b - натуральные числа и не могут быть равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

1. 9 - k = 0
2. 20 - 4k = 0

Решим первое уравнение:

k = 9

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

20 - 4 * 9 = 20 - 36 = -16

Это уравнение не выполняется, так как -16 не равно 0. Таким образом, необходимо рассмотреть другие возможные значения k.

Теперь давайте выразим a/b и найдем все возможные значения:

Из уравнения (9 - k)a + (20 - 4k)b = 0 мы можем выразить a/b:

a/b = (4k - 20) / (k - 9)

Теперь подставим различные натуральные значения для k и найдем соответствующие значения a/b.

• Если k = 1: a/b = (4*1 - 20) / (1 - 9) = (-16) / (-8) = 2
• Если k = 2: a/b = (4*2 - 20) / (2 - 9) = (-12) / (-7) = 12/7
• Если k = 3: a/b = (4*3 - 20) / (3 - 9) = (-8) / (-6) = 4/3
• Если k = 4: a/b = (4*4 - 20) / (4 - 9) = (-4) / (-5) = 4/5
• Если k = 5: a/b = (4*5 - 20) / (5 - 9) = (0) / (-4) = 0 (не подходит, так как a и b натуральные)
• Если k = 6: a/b = (4*6 - 20) / (6 - 9) = (4) / (-3) = -4/3 (не подходит)
• Если k = 7: a/b = (4*7 - 20) / (7 - 9) = (8) / (-2) = -4 (не подходит)
• Если k = 8: a/b = (4*8 - 20) / (8 - 9) = (12) / (-1) = -12 (не подходит)
• Если k = 9: a/b = (4*9 - 20) / (9 - 9) = деление на ноль (не подходит)