Для решения уравнения x^2 - 7x - 13 = 4√(x^2 - 7x + 19), начнем с приведения его к стандартному виду. Для этого перенесем все элементы в одну сторону уравнения:

x^2 - 7x - 13 - 4√(x^2 - 7x + 19) = 0

Теперь обозначим y = x^2 - 7x. Тогда уравнение можно переписать как:

y - 13 - 4√(y + 19) = 0

Теперь выразим 4√(y + 19):

4√(y + 19) = y - 13

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Однако перед этим убедимся, что обе стороны не отрицательные. После возведения в квадрат получаем:

16(y + 19) = (y - 13)^2

Раскроем скобки:

16y + 304 = y^2 - 26y + 169

Переносим все в одну сторону:

y^2 - 26y - 16y + 169 - 304 = 0

Упрощаем:

y^2 - 42y - 135 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 * 1 * (-135)

D = 1764 + 540 = 2304

Теперь находим корни уравнения:

y1,2 = (42 ± √2304) / 2

Вычислим √2304:

√2304 = 48

Теперь подставим это значение:

y1 = (42 + 48) / 2 = 90 / 2 = 45

y2 = (42 - 48) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь вернемся к переменной x. Помним, что y = x^2 - 7x. Подставляем найденные значения:

• Для y1 = 45:
1. x^2 - 7x - 45 = 0
2. Находим дискриминант: D = (-7)^2 - 4 * 1 * (-45) = 49 + 180 = 229
3. Корни: x1,2 = (7 ± √229) / 2
• Для y2 = -3:
1. x^2 - 7x + 3 = 0
2. Находим дискриминант: D = (-7)^2 - 4 * 1 * 3 = 49 - 12 = 37
3. Корни: x1,2 = (7 ± √37) / 2

Теперь у нас есть 4 корня. Чтобы найти произведение корней, воспользуемся свойством произведения корней квадратного уравнения:

Произведение корней уравнения ax^2 + bx + c = 0 равно c/a.

Для уравнения x^2 - 7x - 45 = 0 произведение корней будет -45/1 = -45.

Для уравнения x^2 - 7x + 3 = 0 произведение корней будет 3/1 = 3.

Таким образом, произведение всех корней уравнения x^2 - 7x - 13 = 4√(x^2 - 7x + 19) равно -45 * 3 = -135.

Ответ: -135.