Чтобы найти сумму целых корней уравнения |x^2-x-2|+|5+4x-x^2|=|3x+3|, начнем с анализа каждого из модулей и определения условий, при которых они меняют знак.

1. Рассмотрим первый модуль |x^2 - x - 2|. Найдем корни уравнения x^2 - x - 2 = 0:

• Дискриминант D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• Корни: x1 = (1 + 3)/2 = 2, x2 = (1 - 3)/2 = -1.

Таким образом, этот модуль меняет знак при x = -1 и x = 2. Мы можем разбить ось на три интервала:

• x < -1
• -1 ≤ x < 2
• x ≥ 2

2. Теперь рассмотрим второй модуль |5 + 4x - x^2|. Найдем корни уравнения 5 + 4x - x^2 = 0:

• Перепишем уравнение в стандартном виде: -x^2 + 4x + 5 = 0 или x^2 - 4x - 5 = 0.
• Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Корни: x1 = (4 + 6)/2 = 5, x2 = (4 - 6)/2 = -1.

Этот модуль меняет знак при x = -1 и x = 5. Теперь у нас есть следующие интервалы:

• x < -1
• -1 ≤ x < 5
• x ≥ 5

3. Теперь рассмотрим третий модуль |3x + 3|. Найдем корень уравнения 3x + 3 = 0:

• x = -1.

Таким образом, у нас есть три точки, которые разделяют ось на следующие интервалы:

• x < -1
• -1 ≤ x < 2
• 2 ≤ x < 5
• x ≥ 5

Теперь мы можем исследовать каждую из этих областей отдельно, подставляя соответствующие знаки для модулей:

1. Для x < -1:
   • |x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2
   • |5 + 4x - x^2| = -(5 + 4x - x^2) = x^2 - 4x - 5
   • |3x + 3| = -(3x + 3) = -3x - 3
   • Уравнение становится: -x^2 + x + 2 + x^2 - 4x - 5 = -3x - 3.
   • Упрощаем: -3x - 3 = -3x - 3. Это всегда верно, следовательно, все x < -1 являются решениями.
2. Для -1 ≤ x < 2:
   • |x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2
   • |5 + 4x - x^2| = 5 + 4x - x^2
   • |3x + 3| = 3x + 3
   • Уравнение становится: -x^2 + x + 2 + 5 + 4x - x^2 = 3x + 3.
   • Упрощаем: -2x^2 + 5x + 7 = 3x + 3.
   • Переносим все в одну сторону: -2x^2 + 2x + 4 = 0.
   • Умножим на -1: 2x^2 - 2x - 4 = 0. Делим на 2: x^2 - x - 2 = 0. Получаем (x - 2)(x + 1) = 0, x = 2, x = -1.
   • Проверяем: x = -1 подходит, x = 2 - нет.
3. Для 2 ≤ x < 5:
   • |x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2
   • |5 + 4x - x^2| = 5 + 4x - x^2
   • |3x + 3| = 3x + 3
   • Уравнение становится: x^2 - x - 2 + 5 + 4x - x^2 = 3x + 3.
   • Упрощаем: 3x + 3 = 3x + 3. Это всегда верно, следовательно, все x в этом интервале являются решениями.
4. Для x ≥ 5:
   • |x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2
   • |5 + 4x - x^2| = 5 + 4x - x^2
   • |3x + 3| = 3x + 3
   • Уравнение становится: x^2 - x - 2 + 5 + 4x - x^2 = 3x + 3.
   • Упрощаем: 3x + 3 = 3x + 3. Это всегда верно, следовательно, все x ≥ 5 являются решениями.

Теперь подытожим все целые корни:

• Для x < -1: целые корни это -2, -3, -4 и так далее.
• Для -1 ≤ x < 2: только x = -1.
• Для 2 ≤ x < 5: целые корни это 2, 3, 4.
• Для x ≥ 5: целые корни это 5, 6, 7 и так далее.

Теперь найдем сумму целых корней. Мы видим, что целые корни включают:

• Для x < -1: -2, -3, -4, ... (но их сумма не конечна).
• Для -1: -1.
• Для 2, 3, 4: 2 + 3 + 4 = 9.
• Для x ≥ 5: 5, 6, 7, ... (также не конечна).

Таким образом, сумма целых корней, которая имеет конечное значение, это только -1 + 9 = 8.

Ответ: 8.