Давайте разберем каждую часть задания по очереди.

Часть а)

Мы имеем выражение: sin(π/5) · cos(3π/10) + cos(π/5) · sin(3π/10).

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса суммы:

sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ.

В данном случае, мы можем обозначить:

• α = π/5
• β = 3π/10

Теперь применим формулу:

sin(π/5 + 3π/10) = sin(π/5) · cos(3π/10) + cos(π/5) · sin(3π/10).

Теперь вычислим сумму: π/5 + 3π/10 = 2π/10 + 3π/10 = 5π/10 = π/2.

Таким образом, мы получаем:

sin(π/2) = 1.

Следовательно, значение выражения равно 1.

Часть б)

Теперь рассмотрим выражение: cos(78°) · cos(108°) + sin(78°) · sin(108°).

Это выражение также можно упростить, используя формулу косинуса суммы:

cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ.

Но в нашем случае мы имеем:

cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β) = cos(α - β).

Здесь:

• α = 78°
• β = 108°

Поэтому мы можем записать:

cos(78° - 108°) = cos(-30°) = cos(30°).

Значение cos(30°) равно √3/2.

Таким образом, значение второго выражения равно √3/2.

Теперь перейдем к доказательству тождества:

Нам нужно доказать, что:

cos(α + β) + cos(α - β) = 2cosα cosβ.

Сначала применим формулы для cos(α + β) и cos(α - β):

• cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ
• cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

Теперь сложим эти два выражения:

cos(α + β) + cos(α - β) = (cosα · cosβ - sinα · sinβ) + (cosα · cosβ + sinα · sinβ).

Складываем подобные слагаемые:

2cosα · cosβ.

Таким образом, мы доказали, что:

cos(α + β) + cos(α - β) = 2cosα cosβ.

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!