Не могли бы вы помочь решить уравнение 2cos(2x) + 8sin(x) = 5?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos sin математические задачи уравнения с косинусом и синусом Новый

Конечно, давайте решим уравнение 2cos(2x) + 8sin(x) = 5 шаг за шагом.

Первым делом, вспомним, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью тригонометрической формулы:

• cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

2(1 - 2sin^2(x)) + 8sin(x) = 5

Раскроем скобки:

2 - 4sin^2(x) + 8sin(x) = 5

Теперь перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

-4sin^2(x) + 8sin(x) + 2 - 5 = 0

Упрощаем уравнение:

-4sin^2(x) + 8sin(x) - 3 = 0

Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед sin^2(x):

4sin^2(x) - 8sin(x) + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение принимает вид:

4y^2 - 8y + 3 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 4, b = -8, c = 3.

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16

Теперь подставим значения в формулу:

y = (8 ± √16) / (2 * 4)

y = (8 ± 4) / 8

Теперь найдем два значения для y:

1. y₁ = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 1.5 (не подходит, так как sin(x) не может быть больше 1)
2. y₂ = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 0.5

Теперь у нас есть sin(x) = 0.5.

Решим это уравнение. Мы знаем, что:

• sin(x) = 0.5, когда x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2cos(2x) + 8sin(x) = 5 будет:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!