Помогите, пожалуйста, решить неравенство Log1/2(3x-2) - log1/2(1-x) <= -3.

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство алгебра логарифмы решение неравенства логарифмическое неравенство 11 класс математика учебные задачи

Давайте решим неравенство Log_1/2(3x-2) - Log_1/2(1-x) > 0.

Для начала, воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что разность логарифмов можно выразить через логарифм частного:

Log_1/2(A) - Log_1/2(B) = Log_1/2(A/B).

Таким образом, наше неравенство можно переписать следующим образом:

Log_1/2((3x - 2) / (1 - x)) > 0.

Теперь вспомним, что логарифм со основанием меньше 1 (в данном случае 1/2) меняет знак неравенства. Это значит, что мы можем переписать неравенство как:

(3x - 2) / (1 - x) < 1.

Теперь решим это неравенство:

1. Умножим обе стороны на (1 - x), но при этом учтем, что знак неравенства изменится, если (1 - x) < 0. Поэтому сначала определим, когда (1 - x) > 0:
• 1 - x > 0
• x < 1
2. Теперь умножим обе стороны неравенства на (1 - x) (при условии, что x < 1):
(3x - 2) < (1 - x)
3. Переносим все в одну сторону:
3x - 2 - 1 + x < 0
4. Соберем подобные:
4x - 3 < 0
5. Решим это неравенство:
4x < 3 x < 3/4

Теперь у нас есть условие x < 1 и x < 3/4. Объединим эти условия:

x < 3/4.

Теперь проверим, когда (1 - x) < 0:

• 1 - x < 0
• x > 1

В этом случае, если x > 1, мы умножаем на (1 - x) и знак неравенства остается прежним:

(3x - 2) > (1 - x)

Решим это неравенство:

1. Переносим все в одну сторону:
3x - 2 - 1 + x > 0
2. Соберем подобные:
4x - 3 > 0
3. Решим это неравенство:
x > 3/4

Таким образом, у нас есть два случая: x < 3/4 и x > 3/4. Однако, учитывая, что x < 1 и x > 1 не могут быть одновременно верны, мы можем сделать вывод, что:

Ответ: x < 3/4.

Не забудьте проверить, чтобы аргументы логарифмов были положительными:

• 3x - 2 > 0 => x > 2/3
• 1 - x > 0 => x < 1

Итак, окончательный ответ:

2/3 < x < 3/4.

Привет! Давай вместе разберемся с этим неравенством. У нас есть:

Log1/2(3x-2) - log1/2(1-x) > 0

Сначала вспомним, что разность логарифмов можно записать как логарифм отношения:

Log1/2((3x-2)/(1-x)) > 0

Теперь, чтобы это неравенство выполнялось, нам нужно, чтобы аргумент логарифма был больше 1, так как у нас основание логарифма меньше 1:

• (3x-2)/(1-x) < 1

Теперь решим это неравенство:

1. Умножим обе стороны на (1-x), но помни, что нужно учитывать, что (1-x) должно быть положительным, чтобы не изменить знак неравенства. То есть, x < 1:

3x - 2 < 1 - x

2. Переносим все в одну сторону:

3x + x < 1 + 2

4x < 3

x < 3/4

Теперь у нас есть два условия:

• x < 1
• x < 3/4

Из этих условий мы видим, что более строгое - это x < 3/4. Но нам также нужно учитывать, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

• 3x - 2 > 0 → x > 2/3
• 1 - x > 0 → x < 1

Таким образом, у нас есть:

• 2/3 < x < 3/4

В итоге, решение нашего неравенства:

2/3 < x < 3/4

Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, спрашивай!