Для вычисления объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы можем воспользоваться методом дисков. Давайте последовательно разберем все шаги решения этой задачи.

Сначала нам нужно найти точки пересечения двух заданных функций:

• y = x² + 1
• y = 5 - x²

Для этого приравняем их друг к другу:

x² + 1 = 5 - x²

Соберем все члены в одну сторону:

2x² - 4 = 0

Разделим на 2:

x² - 2 = 0

Теперь решим это уравнение:

x² = 2

x = ±√2

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -√2 и x = √2.

Теперь мы можем использовать формулу для объема V тела вращения вокруг оси абсцисс:

V = π * ∫[a, b] (R² - r²) dx

где R - верхняя функция, r - нижняя функция, а [a, b] - границы интегрирования (в нашем случае от -√2 до √2).

В нашем случае:

• Верхняя функция (R) - это y = 5 - x²
• Нижняя функция (r) - это y = x² + 1

Теперь подставим функции в формулу объема:

V = π * ∫[-√2, √2] ((5 - x²)² - (x² + 1)²) dx

Сначала найдём (5 - x²)² и (x² + 1)²:

• (5 - x²)² = 25 - 10x² + x^4
• (x² + 1)² = x^4 + 2x² + 1

Теперь подставим это в интеграл:

V = π * ∫[-√2, √2] (25 - 10x² + x^4 - (x^4 + 2x² + 1)) dx

Упростим под интегралом:

V = π * ∫[-√2, √2] (24 - 8x²) dx

Теперь вычислим интеграл:

∫(24 - 8x²) dx = 24x - (8/3)x³ + C

Теперь подставим пределы интегрирования от -√2 до √2:

V = π * [ (24√2 - (8/3)(√2)³) - (24(-√2) - (8/3)(-√2)³) ]

Упростим это выражение:

V = π * [ (24√2 - (8/3)(2√2)) - (-24√2 + (8/3)(2√2)) ]

V = π * [ 24√2 - (16/3)√2 + 24√2 - (16/3)√2 ]

V = π * [ 48√2 - (32/3)√2 ]

V = π * [ (144/3)√2 - (32/3)√2 ]

V = π * (112/3)√2

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, равен:

V = (112/3)π√2.