Похожие вопросы
2025-10-25 03:53:03
При каком значении параметра α заданная функция f(x) непрерывна в точке x=0?
f(x) = { √(4+x)-2 / (2arctg x), при x ≠ 0; α, при x = 0 }
Алгебра 11 класс Непрерывность функций алгебра 11 класс непрерывность функции значение параметра α функция в точке x=0 предел функции анализ функции математический анализ Новый
2025-10-25 03:53:16
Для того чтобы функция f(x) была непрерывна в точке x=0, необходимо, чтобы значение функции в этой точке совпадало с пределом функции при x, стремящемся к 0. То есть, нужно выполнить следующее условие:
lim (x → 0) f(x) = f(0)В нашем случае f(0) = α. Теперь найдем предел функции f(x) при x, стремящемся к 0:
f(x) = (√(4+x) - 2) / (2 * arctg(x)) при x ≠ 0.
Для нахождения предела сначала упростим дробь:
Шаг 1: Упрощение числителя- Числитель: √(4+x) - 2. Чтобы упростить его, можно воспользоваться формулой разности квадратов:
- √(4+x) - 2 = (√(4+x) - 2)(√(4+x) + 2) / (√(4+x) + 2) = (4+x - 4) / (√(4+x) + 2) = x / (√(4+x) + 2).
Теперь подставим это в предел:
lim (x → 0) f(x) = lim (x → 0) (x / (√(4+x) + 2) * (1 / (2 * arctg(x)))) = lim (x → 0) (x / (2 * (√(4+x) + 2) * arctg(x))).
Шаг 3: Предел при x → 0- При x → 0, arctg(x) стремится к 0. Мы знаем, что arctg(x) ≈ x, когда x близок к 0.
- Тогда 2 * arctg(x) ≈ 2x, и мы можем записать:
- lim (x → 0) (x / (2 * (√(4+x) + 2) * arctg(x))) = lim (x → 0) (x / (2 * (√(4+x) + 2) * x)) = lim (x → 0) (1 / (2 * (√(4+x) + 2))).
Теперь подставим x = 0 в предел:
lim (x → 0) (1 / (2 * (√(4+0) + 2))) = 1 / (2 * (2 + 2)) = 1 / 8.
Шаг 5: Условие непрерывностиТеперь мы можем записать условие для непрерывности:
α = 1/8.
Таким образом, функция f(x) будет непрерывна в точке x=0 при α = 1/8.