Давайте разберем каждое из данных равенств и найдем значения переменных y или x, при которых они выполняются.

1. (3^y)^4 = 3^{20}

   Сначала упростим левую часть: (3^y)^4 = 3^{4y}. Теперь у нас есть равенство:

   3^{4y} = 3^{20}

   Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели:

   4y = 20

   Теперь делим обе стороны на 4:

   y = 5.

2. (5^y)^x = 5^{4x}

   Упрощаем левую часть: (5^y)^x = 5^{yx}. Получаем равенство:

   5^{yx} = 5^{4x}

   Приравниваем показатели:

   yx = 4x.

   Если x ≠ 0, можем разделить обе стороны на x:

   y = 4.

   Если x = 0, то равенство также выполняется для любого y.

3. 4^{6y} = 2^{60}

   Запишем 4 как 2^2:

   (2^2)^{6y} = 2^{60}

   Упрощаем левую часть:

   2^{12y} = 2^{60}

   Приравниваем показатели:

   12y = 60.

   Делим на 12:

   y = 5.

4. 36^x = 216^x

   Запишем 36 и 216 через 6:

   (6^2)^x = (6^3)^x

   Упрощаем:

   6^{2x} = 6^{3x}

   Приравниваем показатели:

   2x = 3x.

   Вычтем 2x из обеих сторон:

   0 = x.

5. 49^x = 343^{2x}

   Запишем 49 и 343 через 7:

   (7^2)^x = (7^3)^{2x}

   Упрощаем:

   7^{2x} = 7^{6x}

   Приравниваем показатели:

   2x = 6x.

   Вычтем 2x из обеих сторон:

   0 = 4x.

   Таким образом, x = 0.

6. 2^x · (2^y)^1 = 2^x

   Упрощаем левую часть:

   2^x · 2^y = 2^x.

   Таким образом, имеем:

   2^{x+y} = 2^x.

   Приравниваем показатели:

   x + y = x.

   Вычтем x из обеих сторон:

   y = 0.

7. 4^x · 8^4 · 16^3 = 2^x

   Запишем все в степени 2:

   (2^2)^x · (2^3)^4 · (2^4)^3 = 2^x.

   Упрощаем:

   2^{2x} · 2^{12} · 2^{12} = 2^x.

   Складываем показатели:

   2^{2x + 24} = 2^x.

   Приравниваем показатели:

   2x + 24 = x.

   Вычтем x из обеих сторон:

   x = -24.

8. a^x b^y c^z = (abc)^x

   Запишем правую часть:

   (abc)^x = a^x b^x c^x.

   Теперь у нас есть:

   a^x b^y c^z = a^x b^x c^x.

   Приравниваем показатели:

   • a: x = x (всегда верно);
   • b: y = x;
   • c: z = x.
9. a^{15} b^{18} c^{21} = (a^5 b^6 c^7)^y

   Запишем правую часть:

   (a^5 b^6 c^7)^y = a^{5y} b^{6y} c^{7y}.

   Теперь приравниваем показатели:

   • a: 15 = 5y;
   • b: 18 = 6y;
   • c: 21 = 7y.

   Решим первое уравнение:

   y = 15/5 = 3.

   Проверим второе уравнение:

   y = 18/6 = 3.

   Проверим третье уравнение:

   y = 21/7 = 3.

   Таким образом, y = 3.

Таким образом, мы нашли значения переменных для всех данных равенств:

• y = 5 (1, 3);
• y = 4 (2);
• x = 0 (4, 5);
• y = 0 (6);
• x = -24 (7);
• y = x (8);
• y = 3 (9).