Для решения неравенства √(a+x) + √(a-x) ≤ a, начнем с анализа каждого члена неравенства и условий, при которых они определены.

Шаг 1: Определение области определения.

• Сначала рассмотрим подкоренные выражения. Для того чтобы √(a+x) и √(a-x) были определены, необходимо, чтобы:
• a + x ≥ 0, что означает x ≥ -a;
• a - x ≥ 0, что означает x ≤ a.
• Таким образом, область определения для x будет: -a ≤ x ≤ a.

Шаг 2: Исследование неравенства.

Теперь мы можем переписать неравенство:

√(a+x) + √(a-x) ≤ a.

Для упрощения работы с неравенством, выразим его в более удобной форме. Переносим a в левую часть:

√(a+x) + √(a-x) - a ≤ 0.

Шаг 3: Рассмотрим крайние случаи.

• Если x = -a, тогда:
• √(a + (-a)) + √(a - (-a)) = √(0) + √(2a) = √(2a).
• Неравенство становится √(2a) ≤ a. Это верно, если a ≥ 0.
• Если x = a, тогда:
• √(a + a) + √(a - a) = √(2a) + √(0) = √(2a).
• Неравенство также становится √(2a) ≤ a, что опять же верно при a ≥ 0.

Шаг 4: Исследуем промежуточные значения.

Теперь давайте посмотрим на значения x в интервале (-a, a). Для этого удобно возвести обе стороны неравенства в квадрат, но сначала убедимся, что обе стороны неотрицательны:

√(a+x) и √(a-x) всегда неотрицательны при a ≥ 0 и -a ≤ x ≤ a.

Возводим в квадрат:

(√(a+x) + √(a-x))^2 ≤ a^2.

Раскроем скобки:

(a+x) + (a-x) + 2√((a+x)(a-x)) ≤ a^2.

Упростим:

2a + 2√((a+x)(a-x)) ≤ a^2.

Теперь перенесем 2a в правую часть:

2√((a+x)(a-x)) ≤ a^2 - 2a.

Разделим обе стороны на 2:

√((a+x)(a-x)) ≤ (a^2 - 2a)/2.

Шаг 5: Условия для a.

Теперь важно, чтобы (a^2 - 2a) было неотрицательным:

a^2 - 2a ≥ 0, что дает a(a - 2) ≥ 0.

Это неравенство выполняется при:

• a ≤ 0;
• a ≥ 2.

Вывод:

Таким образом, неравенство √(a+x) + √(a-x) ≤ a выполняется для всех значений параметра a, если a ≤ 0 или a ≥ 2. В случае 0 < a < 2 неравенство не выполняется для всех x в интервале [-a, a].