Похожие вопросы
2025-11-19 22:01:06
Решите, пожалуйста, уравнение: (x - 1) ^ 2 + (4y - 2) ^ 2 = 16
Алгебра 11 класс Уравнения окружности уравнение алгебра 11 класс решение уравнения Квадратные уравнения система координат геометрия математические задачи аналитическая геометрия
2025-11-19 22:01:31
Давайте решим уравнение (x - 1) ^ 2 + (4y - 2) ^ 2 = 16 шаг за шагом.
Это уравнение представляет собой уравнение окружности, где (x - 1) ^ 2 и (4y - 2) ^ 2 являются квадратами, а 16 - это радиус в квадрате. Мы можем представить уравнение в более привычной форме.
- Перепишем уравнение:
- У нас есть (x - 1) ^ 2, что означает, что центр окружности по оси x находится в точке x = 1.
- Теперь рассмотрим вторую часть уравнения (4y - 2) ^ 2. Чтобы упростить, сделаем замену:
- Пусть z = 4y - 2. Тогда z ^ 2 = (4y - 2) ^ 2.
- Теперь уравнение выглядит так: (x - 1) ^ 2 + z ^ 2 = 16.
- Определим центр и радиус окружности:
- Центр окружности: (1, 0) в плоскости (x, z).
- Радиус окружности: sqrt(16) = 4.
- Вернемся к y:
- Теперь нам нужно выразить y через z:
- z = 4y - 2, откуда y = (z + 2) / 4.
- Теперь мы можем выразить y через x:
- Подставим z обратно в уравнение окружности:
- (x - 1) ^ 2 + (4y - 2) ^ 2 = 16.
- Решим для y:
- Мы знаем, что (4y - 2) ^ 2 = 16 - (x - 1) ^ 2.
- Теперь извлечем корень из обеих сторон:
- 4y - 2 = ±sqrt(16 - (x - 1) ^ 2.
- Теперь выразим y:
- 4y = 2 ± sqrt(16 - (x - 1) ^ 2).
- y = (2 ± sqrt(16 - (x - 1) ^ 2)) / 4.
Таким образом, мы получили два выражения для y в зависимости от x:
y = (2 + sqrt(16 - (x - 1) ^ 2)) / 4 и y = (2 - sqrt(16 - (x - 1) ^ 2)) / 4.
Эти два уравнения представляют собой верхнюю и нижнюю половины окружности, соответственно.