Решите следующие уравнения:

1. 4sin²x + sinx × cosx - cos²x = 1
2. sin2x - cos²x = 1

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические уравнения синус косинус математические задачи Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди.

Первое уравнение:

4sin²x + sinx × cosx - cos²x = 1

1. Переносим 1 на левую сторону уравнения:

4sin²x + sinx × cosx - cos²x - 1 = 0

2. Обратите внимание, что мы можем использовать тождество cos²x = 1 - sin²x, чтобы выразить cos²x через sin²x:

4sin²x + sinx × cosx - (1 - sin²x) - 1 = 0

Это упростится до:

4sin²x + sinx × cosx - 1 + sin²x - 1 = 0

5sin²x + sinx × cosx - 2 = 0

3. Теперь мы можем выразить cosx через sinx, используя тождество sin²x + cos²x = 1:

cosx = √(1 - sin²x)

4. Подставляем это значение в уравнение:

5sin²x + sinx × √(1 - sin²x) - 2 = 0

5. Теперь это уравнение можно решить численно или графически.

Второе уравнение:

sin2x - cos²x = 1

1. Используем тождество sin2x = 2sinxcosx:

2sinxcosx - cos²x = 1

2. Переносим 1 на левую сторону:

2sinxcosx - cos²x - 1 = 0

3. Это уравнение можно решить, выразив cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x

4. Подставляем это значение:

2sinxcosx - (1 - sin²x) - 1 = 0

2sinxcosx + sin²x - 2 = 0

5. Теперь можно решить это уравнение, используя методы, такие как замена переменной или численные методы.

Таким образом, оба уравнения требуют дальнейшего анализа для нахождения корней. Это можно сделать как аналитически, так и с помощью численных методов или графиков. Если у вас есть конкретные значения или диапазоны, которые вы хотите исследовать, мы можем продолжить решение.