Похожие вопросы
2025-10-25 02:15:36
Решите уравнение √2 * cos(5π/12 + πx) = -1. В ответ запишите увеличенное в 2 раза произведение наибольшего корня (в радианах) на количество корней этого уравнения на промежутке [7; 13].
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра решение корни косинус промежуток радианы произведение 11 класс Новый
2025-10-25 02:15:53
Чтобы решить уравнение √2 * cos(5π/12 + πx) = -1, начнем с преобразования уравнения:
- Сначала разделим обе стороны уравнения на √2:
cos(5π/12 + πx) = -1/√2
- Затем вспомним, что значение cos(θ) = -1/√2 достигается в углах, равных:
- θ = 3π/4 + 2kπ и θ = 5π/4 + 2kπ, где k - любое целое число.
Теперь подставим выражение для θ:
- 5π/12 + πx = 3π/4 + 2kπ
- 5π/12 + πx = 5π/4 + 2kπ
Решим первое уравнение:
- πx = 3π/4 - 5π/12 + 2kπ
- Приведем дроби к общему знаменателю:
- 3π/4 = 9π/12
- Итак, 9π/12 - 5π/12 = 4π/12 = π/3.
Получаем:
- πx = π/3 + 2kπ
- x = 1/3 + 2k.
Теперь решим второе уравнение:
- πx = 5π/4 - 5π/12 + 2kπ
- 5π/4 = 15π/12, следовательно:
- 15π/12 - 5π/12 = 10π/12 = 5π/6.
Таким образом, получаем:
- πx = 5π/6 + 2kπ
- x = 5/6 + 2k.
Теперь у нас есть два семейства решений:
- x = 1/3 + 2k и x = 5/6 + 2k, где k - целое число.
Теперь найдем корни на промежутке [7; 13].
Для первого семейства x = 1/3 + 2k:
- 1/3 + 2k >= 7
- 2k >= 7 - 1/3 = 20/3
- k >= 10/3 = 3.33. Следовательно, k = 4, 5.
- k = 4: x = 1/3 + 8/3 = 3.
- k = 5: x = 1/3 + 10/3 = 11/3 = 3.67.
Теперь для второго семейства x = 5/6 + 2k:
- 5/6 + 2k >= 7
- 2k >= 7 - 5/6 = 37/6
- k >= 37/12 = 3.08. Следовательно, k = 4, 5.
- k = 4: x = 5/6 + 8/3 = 29/6 = 4.83.
- k = 5: x = 5/6 + 10/3 = 35/6 = 5.83.
Теперь соберем все корни:
- x = 3, 11/3, 4.83, 5.83.
На промежутке [7; 13] у нас 4 корня.
Теперь найдем наибольший корень:
- Наибольший корень: 5.83.
Увеличим его в 2 раза и умножим на количество корней:
- 2 * 5.83 * 4 = 46.64.
Таким образом, ответ:
46.64