Для решения уравнения 2 sin 2x - 2 sin x + 2 cos x - 2 = 0, начнем с упрощения уравнения.

Первым делом, разделим все слагаемые на 2:

sin 2x - sin x + cos x - 1 = 0.

Теперь вспомним, что sin 2x = 2 sin x cos x. Подставим это в уравнение:

2 sin x cos x - sin x + cos x - 1 = 0.

Теперь сгруппируем слагаемые:

sin x (2 cos x - 1) + (cos x - 1) = 0.

Теперь мы можем вынести общий множитель:

(sin x + 1)(2 cos x - 1) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, которые можем приравнять к нулю:

1. sin x + 1 = 0
2. 2 cos x - 1 = 0

Решим первое уравнение:

sin x + 1 = 0

sin x = -1.

Синус равен -1 при x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь подставим значение k, чтобы найти корни на отрезке [3π; 9π/2]:

• Для k = 0: x = 3π/2 (это значение находится в пределах отрезка).
• Для k = 1: x = 3π/2 + 2π = 7π/2 (это значение также находится в пределах отрезка).
• Для k = 2: x = 3π/2 + 4π = 11π/2 (это значение выходит за пределы отрезка).

Теперь решим второе уравнение:

2 cos x - 1 = 0

cos x = 1/2.

Косинус равен 1/2 при x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ.

Теперь подставим значение k, чтобы найти корни на отрезке [3π; 9π/2]:

• Для x = π/3 + 2kπ:
• Для k = 1: x = π/3 + 2π = 7π/3 (это значение находится в пределах отрезка).
• Для k = 2: x = π/3 + 4π = 13π/3 (это значение выходит за пределы отрезка).
• Для x = 5π/3 + 2kπ:
• Для k = 1: x = 5π/3 + 2π = 11π/3 (это значение находится в пределах отрезка).
• Для k = 2: x = 5π/3 + 4π = 17π/3 (это значение выходит за пределы отрезка).

Теперь соберем все найденные корни:

• 3π/2
• 7π/2
• 7π/3
• 11π/3

Таким образом, корни уравнения на отрезке [3π; 9π/2] следующие:

• 3π/2
• 7π/2
• 7π/3
• 11π/3