Для решения уравнения 2cos²x + 3sinxcosx + sin²x = 0, начнем с того, что мы можем использовать тригонометрические тождества и подстановки.

Первым делом заметим, что sin²x + cos²x = 1. Это значит, что мы можем выразить cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

• 2(1 - sin²x) + 3sinxcosx + sin²x = 0.

Раскроем скобки:

• 2 - 2sin²x + 3sinxcosx + sin²x = 0.

Теперь объединим подобные слагаемые:

• 2 - sin²x + 3sinxcosx = 0.

Теперь мы можем выразить cosx через sinx, используя тождество cos²x = 1 - sin²x:

cosx = sqrt(1 - sin²x).

Подставим это значение в уравнение:

• 2 - sin²x + 3sinx(sqrt(1 - sin²x)) = 0.

Теперь, чтобы упростить уравнение, сделаем замену:

• t = sinx.

Тогда уравнение примет вид:

• 2 - t² + 3t(sqrt(1 - t²)) = 0.

Это уравнение можно решить численно или графически, но для упрощения, давайте вернемся к исходному уравнению и попробуем решить его через факторизацию.

Исходное уравнение можно записать в следующем виде:

2cos²x + 3sinxcosx + sin²x = 0.

Теперь попробуем выразить его в виде произведения двух множителей:

• (2cosx + sinx)(cosx + sinx) = 0.

Теперь решим каждое из этих уравнений:

1. 2cosx + sinx = 0.
2. cosx + sinx = 0.

Решим первое уравнение:

• sinx = -2cosx.

Разделим обе стороны на cosx (при условии, что cosx не равен нулю):

• tanx = -2.

Теперь найдем x:

• x = arctan(-2) + kπ, где k - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

• cosx + sinx = 0.

Это можно записать как:

• sinx = -cosx.

Разделим обе стороны на cosx (при условии, что cosx не равен нулю):

• tanx = -1.

Таким образом, x будет равен:

• x = arctan(-1) + kπ = -π/4 + kπ, где k - целое число.

Итак, окончательные решения уравнения:

x = arctan(-2) + kπ и x = -π/4 + kπ, где k - целое число.