Решите уравнение 2sin(π+x)*sin(π/2+x)=sinx и найдите все корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку [3π;9π/2]

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение алгебра корни синус решение интервал Тригонометрия математика 2sin π π/2 x отрезок [3π;9π/2] Новый

Для решения уравнения 2sin(π+x)*sin(π/2+x)=sinx начнем с преобразования левой части уравнения. Мы воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами.

Сначала упростим выражения, используя формулы для синуса суммы:

• sin(π + x) = -sin(x)
• sin(π/2 + x) = cos(x)

Подставим эти значения в уравнение:

2*(-sin(x))*cos(x) = sin(x)

Это уравнение можно переписать как:

-2sin(x)cos(x) = sin(x)

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

-2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0

Вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(-2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1. sin(x) = 0
2. -2cos(x) - 1 = 0

Решим первый случай:

sin(x) = 0, значит:

x = kπ, где k - целое число.

Теперь найдем значения k, чтобы x находилось в отрезке [3π; 9π/2].

Рассмотрим границы:

• 3π = 3π
• 9π/2 = 4.5π

Таким образом, k может принимать значения 3 и 4:

• k = 3: x = 3π
• k = 4: x = 4π

Теперь рассмотрим второй случай:

-2cos(x) - 1 = 0, что можно переписать как:

2cos(x) = -1, отсюда:

cos(x) = -1/2.

Решим это уравнение. Значения x, при которых cos(x) = -1/2, можно найти из тригонометрической таблицы:

• x = 2π/3 + 2kπ
• x = 4π/3 + 2kπ

Теперь найдем значения k, чтобы x находилось в отрезке [3π; 9π/2].

Для x = 2π/3 + 2kπ:

• k = 5: x = 2π/3 + 10π/3 = 12π/3 = 4π (принимаем, так как это в пределах)

Для x = 4π/3 + 2kπ:

• k = 4: x = 4π/3 + 8π/3 = 12π/3 = 4π (принимаем, так как это в пределах)
• k = 5: x = 4π/3 + 10π/3 = 14π/3 (это больше 4.5π, не подходит)

Таким образом, все корни уравнения, которые принадлежат отрезку [3π; 9π/2], это:

• x = 3π
• x = 4π

Итак, ответ: x = 3π и x = 4π.