Для решения уравнения 7 sin(x + π/2) + 4√3 sin x · cos x = 4 cos³ x начнем с упрощения левой части уравнения.

Шаг 1: Упростим sin(x + π/2)

Используя тригонометрическую идентичность, мы знаем, что sin(x + π/2) = cos x. Подставим это в уравнение:

7 cos x + 4√3 sin x · cos x = 4 cos³ x.

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону

Запишем уравнение в стандартном виде:

7 cos x + 4√3 sin x · cos x - 4 cos³ x = 0.

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Объединим все члены, содержащие cos x:

cos x (7 + 4√3 sin x - 4 cos² x) = 0.

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить два отдельных уравнения:

1. cos x = 0
2. 7 + 4√3 sin x - 4 cos² x = 0

Шаг 4: Решим первое уравнение cos x = 0

Функция cos x равна нулю в точках:

x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

На отрезке [-5π/2; 0] корни будут:

• x = -π/2
• x = -3π/2

Шаг 5: Решим второе уравнение 7 + 4√3 sin x - 4 cos² x = 0

Заменим cos² x через sin x, используя идентичность cos² x = 1 - sin² x:

7 + 4√3 sin x - 4(1 - sin² x) = 0.

Упрощаем:

7 + 4√3 sin x - 4 + 4 sin² x = 0.

4 sin² x + 4√3 sin x + 3 = 0.

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

4 sin² x + 4√3 sin x + 3 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

sin x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 4, b = 4√3, c = 3.

Находим дискриминант:

D = (4√3)² - 4 * 4 * 3 = 48 - 48 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один двойной корень:

sin x = -4√3 / (2 * 4) = -√3 / 2.

Шаг 7: Найдем x

sin x = -√3 / 2 соответствует углам:

x = -π/3 + 2kπ и x = -2π/3 + 2kπ, где k - целое число.

На отрезке [-5π/2; 0] корни будут:

• x = -4π/3
• x = -5π/3

Шаг 8: Соберем все корни

Теперь соберем все найденные корни:

• x = -π/2
• x = -3π/2
• x = -4π/3
• x = -5π/3

Ответ: Корни уравнения на отрезке [-5π/2; 0]: -π/2, -3π/2, -4π/3, -5π/3.