Чтобы выяснить, являются ли системы векторов линейно независимыми, мы будем использовать метод проверки линейной зависимости. Система векторов считается линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Если такой комбинации нет, векторы линейно независимы.

Для проверки линейной зависимости мы можем составить матрицу, строки которой будут соответствовать векторам, и затем привести эту матрицу к ступенчатому виду. Если количество ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы меньше количества векторов, то векторы линейно зависимы.

1. Система: a1 = (1,2,3), a2 = (3,6,7)
   • Составим матрицу:

                     | 1  3 |
                     | 2  6 |
                     | 3  7 |
                     

   • Проведем операцию: 2 * первая строка - вторая строка = 0, и 3 * первая строка - третья строка не равна 0.
   • Получаем, что строки линейно зависимы, следовательно, векторы линейно зависимы.
2. Система: a1 = (4,-2,6), a2 = (6,-3,9)
   • Составим матрицу:

                     | 4  6 |
                     | -2 -3 |
                     | 6  9 |
                     

   • Проверим линейную зависимость: 3 * первая строка - вторая строка = 0, и 2 * первая строка - третья строка не равна 0.
   • Таким образом, векторы линейно зависимы.
3. Система: a1 = (2,-3,1), a2 = (3,-1,5), a3 = (1,-4,3)
   • Составим матрицу:

                     | 2  3  1 |
                     | -3 -1 -4 |
                     | 1  5  3 |
                     

   • Приведем матрицу к ступенчатому виду. Если все строки ненулевые, то векторы линейно независимы.
   • Получаем, что все строки ненулевые, следовательно, векторы линейно независимы.
4. Система: a1 = (5,4,3), a2 = (3,3,2), a3 = (8,1,3)
   • Составим матрицу:

                     | 5  3  8 |
                     | 4  3  1 |
                     | 3  2  3 |
                     

   • Приведем ее к ступенчатому виду. Если количество ненулевых строк равно количеству векторов, то они линейно независимы.
   • Получаем, что векторы линейно независимы.
5. Система: a1 = (4,-5,2,6), a2 = (2,-2,1,3), a3 = (6,-3,3,9), a4 = (4,-1,5,6)
   • Составим матрицу:

                     | 4  2  6  4 |
                     | -5 -2 -3 -1 |
                     | 2  1  3  5 |
                     | 6  3  9  6 |
                     

   • Приведем к ступенчатому виду и проверим количество ненулевых строк.
   • Получаем, что векторы линейно зависимы.
6. Система: a1 = (1,0,0,2,5), a2 = (0,1,0,3,4), a3 = (0,0,1,4,7), a4 = (2,-3,4,11,12)
   • Составим матрицу:

                     | 1  0  0  2 |
                     | 0  1  0  -3 |
                     | 0  0  1  4 |
                     | 2  3  4  11 |
                     

   • Приведем к ступенчатому виду и проверим количество ненулевых строк.
   • Получаем, что векторы линейно независимы.

Итог:

• Первая система: линейно зависимы
• Вторая система: линейно зависимы
• Третья система: линейно независимы
• Четвертая система: линейно независимы
• Пятая система: линейно зависимы
• Шестая система: линейно независимы