Давайте решим каждую часть задачи по порядку.

Часть 1: Решите неравенство: log_0.5(2x - 4) < log_0.5(x + 1)

1. Сначала обратим внимание на то, что основание логарифма 0.5 меньше 1. Это означает, что логарифмическая функция убывает. Поэтому, если log_0.5(A) < log_0.5(B), то A > B. В нашем случае это означает:
2. 2x - 4 > x + 1.
3. Теперь решим неравенство:
• Переносим x и 4 на одну сторону:
• 2x - x > 1 + 4;
• Получаем: x > 5.
4. Теперь нужно учесть область определения логарифмов. Условие для логарифма log_0.5(2x - 4) требует, чтобы 2x - 4 > 0, что дает x > 2. Условие для log_0.5(x + 1) требует, чтобы x + 1 > 0, что дает x > -1.
5. Таким образом, область определения: x > 2. Теперь мы сравниваем это с нашим решением x > 5. Следовательно, окончательное решение:
6. x > 5.

Часть 2: Решите неравенство: log₅(x)² - log₅(x) > 2

1. Обозначим log₅(x) как y. Тогда неравенство преобразуется в:
2. y² - y - 2 > 0.
3. Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:
• y² - y - 2 = 0.
• Используем формулу корней квадратного уравнения:
• y = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2.
• Это дает корни: y = 2 и y = -1.
4. Теперь определим промежутки для знака неравенства. Мы имеем корни -1 и 2. Разобьем числовую прямую на интервалы:
• (-∞, -1),
• (-1, 2),
• (2, +∞).
5. Теперь проверим знак на каждом интервале:
• Для y < -1 (например, y = -2): (-2)² - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0.
• Для -1 < y < 2 (например, y = 0): 0² - 0 - 2 = -2 < 0.
• Для y > 2 (например, y = 3): 3² - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0.
6. Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:
• y < -1 и y > 2.
7. Теперь вернемся к переменной x. Помним, что y = log₅(x). Значит:
• log₅(x) < -1 <=> x < 5^-1 = 1/5.
• log₅(x) > 2 <=> x > 5² = 25.
8. Таким образом, окончательное решение для второй части:
9. x < 1/5 или x > 25.

В итоге, мы получили решения для обеих частей задачи:

• Часть 1: x > 5.
• Часть 2: x < 1/5 или x > 25.