Задание № 4

Как можно найти площадь области, заключенной между графиками y = x² + 2, y = 1 - x², а также вертикальными линиями x = 0 и x = 1?

Алгебра 11 класс Интегралы площадь области графики y = x² + 2 y = 1 - x² вертикальные линии x = 0 x = 1 алгебра 11 класс Новый

Для нахождения площади области, заключенной между графиками функций y = x² + 2 и y = 1 - x², а также вертикальными линиями x = 0 и x = 1, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.

Сначала найдем, где функции y = x² + 2 и y = 1 - x² пересекаются. Для этого приравняем их:

1. x² + 2 = 1 - x²
2. Соберем все члены в одну сторону: x² + x² + 2 - 1 = 0
3. 2x² + 1 = 0

Теперь решим это уравнение:

1. 2x² = -1
2. x² = -1/2

Так как у нас получился отрицательный корень, это означает, что графики не пересекаются в действительных числах. Следовательно, мы можем перейти к следующему шагу.

2. Определить, какая функция выше на заданном интервале.

Теперь нам нужно выяснить, какая из функций больше на интервале от x = 0 до x = 1. Подставим значения x в обе функции:

• Для x = 0:
  • y = 0² + 2 = 2
  • y = 1 - 0² = 1
• Для x = 1:
  • y = 1² + 2 = 3
  • y = 1 - 1² = 0

Таким образом, на интервале [0, 1] функция y = x² + 2 всегда выше, чем y = 1 - x².

3. Найти площадь между графиками.

Площадь области между графиками можно найти, вычислив интеграл разности верхней функции и нижней функции на заданном интервале:

1. Площадь = Интеграл от 0 до 1 (y_верх - y_низ) dx
2. Площадь = Интеграл от 0 до 1 ((x² + 2) - (1 - x²)) dx
3. Площадь = Интеграл от 0 до 1 (x² + 2 - 1 + x²) dx
4. Площадь = Интеграл от 0 до 1 (2x² + 1) dx

4. Вычислить интеграл.

Теперь вычислим интеграл:

1. Интеграл (2x² + 1) dx = (2/3)x³ + x
2. Подставляем пределы интегрирования от 0 до 1:
3. Площадь = [(2/3)(1)³ + (1)] - [(2/3)(0)³ + (0)]
4. Площадь = (2/3 + 1) - 0 = 2/3 + 3/3 = 5/3

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками, равна 5/3.