Давайте поочередно рассмотрим каждый из пределов и найдем их значения, объясняя шаги решения.

1. Предел: lim(n→∞) ( (n-1)/(n+1) )^(2n)

Для начала упростим выражение внутри предела:

• (n-1)/(n+1) = 1 - 2/(n+1).

Теперь, когда n стремится к бесконечности, 2/(n+1) стремится к 0, следовательно:

• (n-1)/(n+1) стремится к 1.

Теперь подставим это в предел:

• lim(n→∞) ( (n-1)/(n+1) )^(2n) = lim(n→∞) (1 - 2/(n+1))^(2n).

Используем известный предел: lim(x→0) (1 - x)^(1/x) = e^(-1). Здесь x = 2/(n+1), и при n→∞, x→0. Таким образом:

• lim(n→∞) (1 - 2/(n+1))^(2n) = e^(-2).

Итак, предел равен e^(-2).

2. Предел: lim(n→∞) n [ln(n+3) - ln(n)]

Используем свойство логарифмов:

• ln(n+3) - ln(n) = ln((n+3)/n) = ln(1 + 3/n).

Теперь подставим это в предел:

• lim(n→∞) n * ln(1 + 3/n).

При n стремящемся к бесконечности, 3/n стремится к 0, и используем разложение ln(1 + x) ≈ x при x→0:

• ln(1 + 3/n) ≈ 3/n.

Подставим это в наш предел:

• lim(n→∞) n * (3/n) = lim(n→∞) 3 = 3.

Таким образом, предел равен 3.

3. Предел: lim(n→∞) n [ln(n) - ln(n+2)]

Снова используем свойства логарифмов:

• ln(n) - ln(n+2) = ln(n/(n+2)) = ln(1 - 2/(n+2)).

Теперь подставим это в предел:

• lim(n→∞) n * ln(1 - 2/(n+2)).

Используем разложение ln(1 - x) ≈ -x при x→0:

• ln(1 - 2/(n+2)) ≈ -2/(n+2).

Теперь подставляем это в предел:

• lim(n→∞) n * (-2/(n+2)) = lim(n→∞) -2n/(n+2) = lim(n→∞) -2/(1 + 2/n) = -2.

Таким образом, предел равен -2.

4. Предел: lim(n→∞) ( (3n-2)/(3n+1) )^(2n)

Упростим выражение:

• (3n-2)/(3n+1) = 1 - 3/(3n+1).

Теперь подставим это в предел:

• lim(n→∞) (1 - 3/(3n+1))^(2n).

Аналогично предыдущему примеру, мы получаем:

• lim(n→∞) (1 - 3/(3n+1))^(2n) = e^(-6).

Таким образом, предел равен e^(-6).

5. Предел: lim(n→∞) ( (2n-1)/(2n+1) )^(2n)

Упростим выражение:

• (2n-1)/(2n+1) = 1 - 2/(2n+1).

Теперь подставим это в предел:

• lim(n→∞) (1 - 2/(2n+1))^(2n).

Используя аналогичный подход, мы получаем:

• lim(n→∞) (1 - 2/(2n+1))^(2n) = e^(-4).

Таким образом, предел равен e^(-4).

Итак, подведем итоги:

• lim(n→∞) ( (n-1)/(n+1) )^(2n) = e^(-2);
• lim(n→∞) n [ln(n+3) - ln(n)] = 3;
• lim(n→∞) n [ln(n) - ln(n+2)] = -2;
• lim(n→∞) ( (3n-2)/(3n+1) )^(2n) = e^(-6);
• lim(n→∞) ( (2n-1)/(2n+1) )^(2n) = e^(-4).