Давайте рассмотрим три вопроса по алгебре, которые связаны с вашими темами:

1. Вопрос 1: Найдите скалярное произведение векторов a и b, где a = { -1; 1; 2 } и b = { 1; -2; 1 }. Каково значение этого произведения и что оно означает?
2. Вопрос 2: Найдите косинус угла между векторами a = { -3; -1; 0 } и b = { 1; 0; 3 }. Каковы шаги для его нахождения?
3. Вопрос 3: Определите вид треугольника ABC и найдите его периметр, а также среднюю линию AC, если A(1; -2; 3), B(2; -3; 1) и C(1; -3; 2). Какие шаги нужно предпринять для решения этой задачи?

Теперь давайте подробно разберем каждый вопрос.

Ответ на Вопрос 1:

Чтобы найти скалярное произведение векторов a и b, нужно использовать формулу:

a · b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3,

где a1, a2, a3 и b1, b2, b3 - компоненты векторов a и b соответственно.

Подставляем значения:

• a · b = (-1) * 1 + 1 * (-2) + 2 * 1
• a · b = -1 - 2 + 2
• a · b = -1

Скалярное произведение равно -1. Это значение показывает, что векторы a и b не перпендикулярны и имеют угол, больше 90 градусов между собой.

Ответ на Вопрос 2:

Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, используем формулу:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где |a| и |b| - длины векторов a и b.

Сначала находим скалярное произведение a · b:

• a · b = (-3) * 1 + (-1) * 0 + 0 * 3 = -3

Теперь найдем длины векторов:

• |a| = √((-3)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √(9 + 1 + 0) = √10
• |b| = √(1^2 + 0^2 + 3^2) = √(1 + 0 + 9) = √10

Теперь подставим все в формулу:

• cos(θ) = -3 / (√10 * √10) = -3 / 10

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -0.3.

Ответ на Вопрос 3:

Чтобы определить вид треугольника ABC, нужно найти длины его сторон:

• AB = √((2-1)^2 + (-3+2)^2 + (1-3)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6
• BC = √((1-2)^2 + (-3+3)^2 + (2-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2
• CA = √((1-1)^2 + (-3+2)^2 + (2-3)^2) = √(0 + 1 + 1) = √2

Теперь сравним длины сторон:

• AB = √6, BC = √2, CA = √2

Так как одна сторона (AB) больше, чем сумма двух других (√2 + √2), треугольник является тупоугольным.

Теперь найдем периметр:

• P = AB + BC + CA = √6 + √2 + √2 = √6 + 2√2

И, наконец, средняя линия AC, которая равна половине длины стороны AB:

• Средняя линия AC = 1/2 * AB = 1/2 * √6

Таким образом, вы узнали о скалярном произведении, косинусе угла между векторами и о свойствах треугольника.