Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Нам нужно найти трехзначное число, которое оканчивается на 7. Обозначим это число как XYZ, где Z - это 7. Таким образом, наше число можно записать как XY7, где X и Y - это цифры, которые мы еще не знаем.

Теперь, когда мы переставляем цифру 7 на первое место, наше число становится 7XY.

По условию задачи, когда мы переставляем 7 на первое место, число увеличивается на 324. Это можно записать в виде уравнения:

7XY = XY7 + 324

Теперь давайте выразим эти числа в десятичной системе:

• XY7 можно записать как 100X + 10Y + 7.
• 7XY можно записать как 700 + 10X + Y.

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 7 + 324

Упростим уравнение:

700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 331

Переносим все члены на одну сторону:

700 - 331 + 10X - 100X + Y - 10Y = 0

Это упростится до:

369 - 90X - 9Y = 0

Теперь выразим это уравнение в более удобной форме:

90X + 9Y = 369

Если разделим все на 9, то получим:

10X + Y = 41

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает X и Y. Поскольку X и Y - это цифры, X может принимать значения от 1 до 9, а Y - от 0 до 9.

Теперь найдем возможные значения X и Y:

• Если X = 4, то Y = 1 (10*4 + 1 = 41).

Таким образом, единственная пара значений, которая удовлетворяет уравнению, это X = 4 и Y = 1.

Теперь можем составить наше трехзначное число:

XY7 = 417.

Проверим, соответствует ли это условию задачи:

Переставим 7 на первое место: 741.

Теперь найдем разность: 741 - 417 = 324.

Условие задачи выполнено. Таким образом, искомое трехзначное число - это 417.