Как можно найти решения для следующей системы уравнений:

1. x^3 + y^3 = 9
2. xy = 2

Алгебра 8 класс Система уравнений система уравнений решения уравнений алгебра 8 класс X^3 + y^3 xy = 2 методы решения математические задачи Новый

Чтобы решить систему уравнений:

• x³ + y³ = 9
• xy = 2

мы можем использовать метод подстановки и свойства кубов.

Шаг 1: Используем второе уравнение для выражения y через x.

Из уравнения xy = 2 мы можем выразить y:

y = 2/x.

Шаг 2: Подставим y в первое уравнение.

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

x³ + (2/x)³ = 9.

Шаг 3: Упростим первое уравнение.

Вычислим (2/x)³:

(2/x)³ = 8/x³.

Теперь подставим это в уравнение:

x³ + 8/x³ = 9.

Умножим все уравнение на x³, чтобы избавиться от дроби:

x⁶ + 8 = 9x³.

Шаг 4: Перепишем уравнение.

Перепишем его в стандартной форме:

x⁶ - 9x³ + 8 = 0.

Шаг 5: Подставим z = x³.

Обозначим z = x³. Тогда уравнение становится:

z² - 9z + 8 = 0.

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

z = (9 ± √(9² - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1).

Посчитаем дискриминант:

9² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49.

Теперь найдем корни:

z = (9 ± 7) / 2.

Корни будут:

• z₁ = (9 + 7) / 2 = 8,
• z₂ = (9 - 7) / 2 = 1.

Шаг 7: Вернемся к x.

Так как z = x³, то:

• x³ = 8 → x = 2,
• x³ = 1 → x = 1.

Шаг 8: Найдем соответствующие значения y.

Теперь подставим найденные значения x в уравнение y = 2/x:

• Если x = 2, то y = 2/2 = 1.
• Если x = 1, то y = 2/1 = 2.

Итак, решения системы уравнений:

• (x, y) = (2, 1),
• (x, y) = (1, 2).

Таким образом, мы нашли два решения для данной системы уравнений.