Как можно подтвердить равенство 1 x 4 + 2 x 7 + 3 x 10 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)^2?

Алгебра 8 класс Суммы и последовательности равенство алгебра 8 класс подтверждение формула сумма последовательность математическое доказательство Новый

Чтобы подтвердить равенство 1 x 4 + 2 x 7 + 3 x 10 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)^2, мы будем использовать метод математической индукции. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. База индукции:

   Для n = 1:

   • Левая часть: 1(3*1 + 1) = 1 * 4 = 4.
   • Правая часть: 1(1 + 1)^2 = 1 * 2^2 = 1 * 4 = 4.

   Таким образом, для n = 1 равенство верно.

2. Шаг индукции:

   Предположим, что равенство верно для n = k, то есть:

   1 x 4 + 2 x 7 + 3 x 10 + ... + k(3k + 1) = k(k + 1)^2.

   Теперь нужно показать, что оно верно для n = k + 1:

   • Левая часть для n = k + 1:

   1 x 4 + 2 x 7 + 3 x 10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1).

   • По предположению индукции это равно:

   k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4).

   • Теперь упростим правую часть:
   • k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k(k + 1) + 3k + 4).
   • Объединим выражение в скобках:

   k(k + 1) + 3k + 4 = k^2 + k + 3k + 4 = k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2.

   • Таким образом, мы имеем:

   (k + 1)((k + 2)^2).

   Это можно записать как (k + 1)(k + 1 + 1)^2, что соответствует правой части для n = k + 1.

3. Заключение:

   Мы показали, что если равенство верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1. Так как база индукции была верна, по принципу математической индукции равенство верно для всех натуральных n.

Таким образом, мы подтвердили равенство 1 x 4 + 2 x 7 + 3 x 10 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)^2.