Как можно сократить следующие алгебраические дроби?

1. 25 - а² / 3а - 15
2. 8b² - 8a² / a² - 2ab + b²
3. 5x(x - y) / x³(y - x)

Алгебра 8 класс Сокращение алгебраических дробей сокращение алгебраических дробей алгебра 8 класс примеры сокращения дробей Новый

Сокращение алгебраических дробей — это процесс, при котором мы упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на их общий делитель. Давайте рассмотрим каждую дробь по отдельности.

1. Сокращение дроби (25 - a²) / (3a - 15)

• Первым шагом мы заметим, что 25 - a² является разностью квадратов. Это можно разложить на множители:
• 25 - a² = (5 - a)(5 + a).
• Теперь рассмотрим знаменатель 3a - 15. Мы можем вынести общий множитель 3:
• 3a - 15 = 3(a - 5).
• Теперь подставим это в дробь:

(5 - a)(5 + a) / [3(a - 5)]

• Теперь мы можем заметить, что (5 - a) и (a - 5) отличаются знаком. Мы можем записать (5 - a) как -(a - 5):

= - (5 + a) / 3

Таким образом, сокращенная форма дроби (25 - a²) / (3a - 15) равна - (5 + a) / 3.

2. Сокращение дроби (8b² - 8a²) / (a² - 2ab + b²)

• В числителе 8b² - 8a² мы можем вынести общий множитель 8:
• 8(b² - a²).
• Опять же, b² - a² можно разложить на множители:
• b² - a² = (b - a)(b + a).
• Таким образом, числитель будет равен:

8(b - a)(b + a)

• Теперь рассмотрим знаменатель a² - 2ab + b². Это выражение можно разложить как полный квадрат:
• a² - 2ab + b² = (a - b)².

Теперь подставим это в дробь:

8(b - a)(b + a) / (a - b)²

• Мы видим, что (b - a) = -(a - b). Таким образом, можем записать дробь как:

- 8(b + a) / (a - b)

Таким образом, сокращенная форма дроби (8b² - 8a²) / (a² - 2ab + b²) равна - 8(b + a) / (a - b).

3. Сокращение дроби 5x(x - y) / (x³(y - x))

• В числителе у нас 5x(x - y).
• В знаменателе x³(y - x) мы можем записать (y - x) как -(x - y), чтобы упростить выражение:

x³(y - x) = -x³(x - y).

Теперь подставим это в дробь:

5x(x - y) / [-x³(x - y)]

• Теперь мы можем сократить (x - y) в числителе и знаменателе:

5x / -x³ = -5/x².

Таким образом, сокращенная форма дроби 5x(x - y) / (x³(y - x)) равна -5/x².

В итоге, мы получили следующие сокращенные формы:

• (25 - a²) / (3a - 15) = - (5 + a) / 3
• (8b² - 8a²) / (a² - 2ab + b²) = - 8(b + a) / (a - b)
• 5x(x - y) / (x³(y - x)) = -5/x²