Как решить неравенство: 2/(x + 1) - 1/(x - 1) < 1?

Алгебра 8 класс Неравенства рациональных функций решение неравенства алгебра 8 класс 2/(x + 1) - 1/(x - 1) < 1 неравенства в алгебре алгебраические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 2/(x + 1) - 1/(x - 1) < 1, давайте сначала упростим его. Для этого следуем следующим шагам:

1. Переносим 1 на левую сторону:

Мы можем записать неравенство так:

2/(x + 1) - 1/(x - 1) - 1 < 0
2. Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель для дробей 2/(x + 1) и 1/(x - 1) будет равен (x + 1)(x - 1). Запишем каждую дробь с этим знаменателем:

• Первая дробь: 2/(x + 1) = 2(x - 1)/((x + 1)(x - 1))
• Вторая дробь: 1/(x - 1) = 1(x + 1)/((x + 1)(x - 1))
• Число 1 можно записать как (x + 1)(x - 1)/((x + 1)(x - 1))
3. Подставляем все дроби в неравенство:

Теперь подставим это в неравенство:

2(x - 1) - (x + 1) - (x + 1)(x - 1) < 0
4. Упрощаем выражение:

Раскроем скобки:

• 2(x - 1) = 2x - 2
• -(x + 1) = -x - 1
• -(x + 1)(x - 1) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

(2x - 2) - (x + 1) - (x^2 - 1) < 0
5. Соберем все члены:

Соберем все члены вместе:

-x^2 + 2x - x - 2 - 1 + 1 < 0

Это упрощается до:

-x^2 + x - 2 < 0
6. Умножим на -1:

Неравенство меняет знак:

x^2 - x + 2 > 0
7. Находим корни:

Решим квадратное уравнение x^2 - x + 2 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*2 = 1 - 8 = -7

Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней.

8. Анализируем знак:

Поскольку парабола x^2 - x + 2 открыта вверх и не пересекает ось X, она всегда положительна. Таким образом, неравенство x^2 - x + 2 > 0 выполняется для всех значений x, кроме тех, где дроби не определены.

9. Учитываем ограничения:

Дроби не определены при:

• x + 1 = 0 (x = -1)
• x - 1 = 0 (x = 1)

Таким образом, решением неравенства является:

x ∈ (-∞, -1) U (-1, 1) U (1, +∞)

Итак, мы нашли решение неравенства!