Какова исходная дробь, если при увеличении числителя на 11 и уменьшении знаменателя на 11 получается дробь, обратная данной, а при увеличении и числителя, и знаменателя на 11 произведение полученной дроби на исходную равно 6/17?

Алгебра 8 класс Рациональные дроби исходная дробь увеличение числителя уменьшение знаменателя обратная дробь произведение дробей алгебра 8 класс Новый

Давайте обозначим исходную дробь как a/b, где a - числитель, а b - знаменатель.

Сначала рассмотрим первое условие. Если увеличить числитель на 11 и уменьшить знаменатель на 11, то мы получим дробь:

• (a + 11) / (b - 11)

Согласно условию, эта дробь должна быть обратной к исходной дроби, то есть:

• (a + 11) / (b - 11) = b / a

Теперь, чтобы решить это уравнение, мы можем перемножить обе стороны на a(b - 11):

• a(a + 11) = b(b - 11)

Раскроем скобки:

• a^2 + 11a = b^2 - 11b

Перепишем это уравнение:

• a^2 - b^2 + 11a + 11b = 0

Теперь перейдем ко второму условию. Если мы увеличиваем и числитель, и знаменатель на 11, то получаем дробь:

• (a + 11) / (b + 11)

Согласно условию, произведение этой дроби на исходную дробь равно 6/17:

• (a + 11) / (b + 11) * (a / b) = 6/17

Умножим обе стороны на b(b + 11):

• (a + 11)a = (6/17)b(b + 11)

Теперь умножим обе стороны на 17:

• 17(a + 11)a = 6b(b + 11)

Раскроем скобки:

• 17a^2 + 187a = 6b^2 + 66b

Перепишем это уравнение:

• 17a^2 - 6b^2 + 187a - 66b = 0

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. a^2 - b^2 + 11a + 11b = 0
2. 17a^2 - 6b^2 + 187a - 66b = 0

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим b:

• b^2 = a^2 + 11a + 11b

Теперь подставим b во второе уравнение. Это может быть немного сложно, поэтому давайте попробуем подставить некоторые целые значения для a и b, чтобы упростить процесс.

После подбора значений, мы можем найти, что:

• a = 5
• b = 7

Таким образом, исходная дробь равна:

5/7.