Давайте решим каждое из данных неравенств по очереди.

Первое неравенство: log2(x-4) < 2

1. Сначала преобразуем неравенство в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если log2(a) < b, то a < 2^b. В нашем случае a = x - 4 и b = 2.
2. Записываем неравенство: x - 4 < 2^2.
3. 2^2 = 4, поэтому неравенство становится: x - 4 < 4.
4. Теперь решим это неравенство: добавим 4 к обеим частям: x < 4 + 4.
5. Получаем: x < 8.
6. Однако, необходимо помнить, что логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому x - 4 > 0, что дает нам x > 4.
7. Теперь у нас есть два условия: x < 8 и x > 4. Объединив их, получаем: 4 < x < 8.

Ответ для первого неравенства: 4 < x < 8.

Второе неравенство: log0,2(x² + 4x) ≥ -2

1. Сначала преобразуем это неравенство в экспоненциальную форму. Здесь основание логарифма 0,2, и мы знаем, что log0,2(a) ≥ b означает, что a ≤ 0,2^b, потому что основание меньше 1.
2. Записываем неравенство: x² + 4x ≥ 0,2^(-2).
3. Вычислим 0,2^(-2): это равно 1/(0,2^2) = 1/(0,04) = 25. Таким образом, неравенство становится: x² + 4x ≥ 25.
4. Теперь перенесем 25 в левую часть: x² + 4x - 25 ≥ 0.
5. Решим квадратное неравенство. Сначала находим корни уравнения x² + 4x - 25 = 0 с помощью дискриминанта:
6. D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-25) = 16 + 100 = 116.
7. Теперь находим корни: x = (-b ± √D) / (2a) = (-4 ± √116) / 2.
8. √116 можно упростить: √116 = √(4 * 29) = 2√29. Таким образом, корни будут: x = (-4 ± 2√29) / 2 = -2 ± √29.
9. Корни: x₁ = -2 - √29 и x₂ = -2 + √29. Теперь найдем интервалы, в которых неравенство выполняется. Мы будем проверять знаки на интервалах: (-∞, -2 - √29), (-2 - √29, -2 + √29) и (-2 + √29, +∞).
10. Неравенство x² + 4x - 25 ≥ 0 выполняется на интервалах: x ≤ -2 - √29 и x ≥ -2 + √29.

Ответ для второго неравенства: x ≤ -2 - √29 или x ≥ -2 + √29.

Таким образом, мы нашли решения для обоих неравенств. Если у вас есть вопросы или нужно что-то уточнить, пожалуйста, дайте знать!