Давайте решим уравнение шаг за шагом:

У нас есть уравнение:

(x - 3)/(x + 2) + (x + 3)/(x - 2) = (2x + 16)/(x^2 - 4).

Сначала заметим, что знаменатель (x^2 - 4) можно разложить:

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).

Таким образом, мы можем переписать уравнение так:

(x - 3)/(x + 2) + (x + 3)/(x - 2) = (2x + 16)/((x - 2)(x + 2)).

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общим знаменателем будет (x + 2)(x - 2). Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

• (x - 3)/(x + 2) = (x - 3)(x - 2)/((x + 2)(x - 2)) = (x^2 - 5x + 6)/((x + 2)(x - 2)),
• (x + 3)/(x - 2) = (x + 3)(x + 2)/((x - 2)(x + 2)) = (x^2 + 5x + 6)/((x - 2)(x + 2)).

Теперь сложим эти дроби:

(x^2 - 5x + 6 + x^2 + 5x + 6)/((x + 2)(x - 2)) = (2x^2 + 12)/((x + 2)(x - 2)).

Теперь у нас есть:

(2x^2 + 12)/((x + 2)(x - 2)) = (2x + 16)/((x + 2)(x - 2)).

Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем приравнять числители:

2x^2 + 12 = 2x + 16.

Теперь перенесем все в одну сторону:

2x^2 - 2x + 12 - 16 = 0.

Это упростится до:

2x^2 - 2x - 4 = 0.

Теперь разделим уравнение на 2:

x^2 - x - 2 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9,
• √9 = 3.

Теперь подставим в формулу:

x = (1 ± 3) / 2.

Это дает нам два значения:

• x1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2,
• x2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь проверим, не равны ли найденные корни значениям, при которых знаменатель равен нулю:

• x + 2 = 0 ⇒ x = -2,
• x - 2 = 0 ⇒ x = 2.

Значит, x = 2 не подходит, так как при этом знаменатель становится равным нулю. Оставляем только:

x = -1.

Таким образом, ответ к уравнению:

x = -1.