Чтобы доказать, что функция является периодической, необходимо показать, что существует такое положительное число T, для которого выполняется равенство f(x + T) = f(x) для всех x. Период функции – это наименьшее положительное число T, для которого это равенство выполняется.

Рассмотрим каждую из предложенных функций по отдельности:

• Функция cos x является периодической с периодом 2π.
• Проверим, что f(x + 2π) = f(x):
1. f(x + 2π) = 2 - cos(x + 2π) = 2 - cos x.
2. Таким образом, f(x + 2π) = f(x).
• Следовательно, функция f(x) = 2 - cos x является периодической с периодом 2π.

• Функции sin x и cos x также являются периодическими с периодом 2π.
• Проверим, что f(x + 2π) = f(x):
1. f(x + 2π) = sin(x + 2π) + cos(x + 2π) = sin x + cos x.
2. Таким образом, f(x + 2π) = f(x).
• Следовательно, функция f(x) = sin x + cos x является периодической с периодом 2π.

• Функция tg x является периодической с периодом π.
• Так как в нашем случае аргументом является 2x, то период функции tg 2x будет равен π/2.
• Проверим, что f(x + π/2) = f(x):
1. f(x + π/2) = tg(2(x + π/2)) = tg(2x + π) = tg 2x.
2. Таким образом, f(x + π/2) = f(x).
• Следовательно, функция f(x) = tg 2x является периодической с периодом π/2.

• Функция sin^2 x является периодической с периодом π.
• Проверим, что f(x + π) = f(x):
1. f(x + π) = 3 + sin^2(x + π) = 3 + sin^2 x.
2. Таким образом, f(x + π) = f(x).
• Следовательно, функция f(x) = 3 + sin^2 x является периодической с периодом π.

В итоге, все предложенные функции являются периодическими:

• a) Период 2π.
• б) Период 2π.
• в) Период π/2.
• г) Период π.