Чтобы упростить выражение √(109 + 12√3) - √(109 - 12√3), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Обозначим корни:
   • Пусть A = √(109 + 12√3)
   • Пусть B = √(109 - 12√3)
2. Рассмотрим выражение:
   • Нам нужно упростить A - B.
3. Воспользуемся формулой разности квадратов:
   • Мы можем выразить A - B как (A - B) * (A + B) / (A + B).
   • Для этого сначала найдем A + B:
4. Найдем A + B:
   • A + B = √(109 + 12√3) + √(109 - 12√3).
   • Чтобы упростить это, заметим, что под корнями находятся похожие выражения.
   • Сложим их:
   • A + B = √(2 * 109) = √218.
5. Теперь найдем A - B:
   • A - B = √(109 + 12√3) - √(109 - 12√3).
   • Для упрощения мы можем использовать разность квадратов:
   • (A - B) * (A + B) = (A^2 - B^2).
6. Вычтем A^2 и B^2:
   • A^2 = 109 + 12√3
   • B^2 = 109 - 12√3
   • A^2 - B^2 = (109 + 12√3) - (109 - 12√3) = 24√3.
7. Теперь подставим в формулу:
   • A - B = (A^2 - B^2) / (A + B) = 24√3 / √218.
8. Упростим окончательно:
   • Мы можем выразить √218 как √(2 * 109), что равняется √2 * √109.
   • Таким образом, A - B = 24√3 / (√2 * √109).

Таким образом, окончательный ответ:

√(109 + 12√3) - √(109 - 12√3) = 24√3 / (√2 * √109).