Похожие вопросы
2025-10-30 01:12:28
Вопрос (21) - Какое значение имеет выражение (1+i) в степени 16?
- -8
- 16
- 256
- -64
Алгебра 9 класс Комплексные числа алгебра 9 класс выражение (1+i) в степени 16 значение выражения комплексные числа степени комплексных чисел Новый
2025-10-30 01:12:44
Для того чтобы найти значение выражения (1+i) в степени 16, давайте сначала упростим его. Мы можем использовать формулу для возведения комплексного числа в степень.
Комплексное число (1+i) можно представить в полярной форме. Для этого найдем модуль и аргумент этого числа.
- Модуль: Модуль комплексного числа (a + bi) вычисляется по формуле √(a² + b²). В нашем случае a = 1 и b = 1.
- Модуль (1+i) = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2.
- Аргумент: Аргумент комплексного числа вычисляется как arctan(b/a). В нашем случае это arctan(1/1) = π/4.
Таким образом, мы можем записать (1+i) в полярной форме:
(1+i) = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4)).
Теперь, чтобы возвести это число в степень 16, мы воспользуемся формулой Муавра:
(r(cos(θ) + i sin(θ)))^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).
- Здесь r = √2, θ = π/4, n = 16.
- Теперь вычислим r^n: (√2)^16 = (2^(1/2))^16 = 2^(16/2) = 2^8 = 256.
- Теперь вычислим аргумент: nθ = 16 * (π/4) = 4π.
Так как cos(4π) = 1 и sin(4π) = 0, у нас получается:
(1+i)^16 = 256 (cos(4π) + i sin(4π)) = 256 (1 + 0i) = 256.
Таким образом, значение выражения (1+i) в степени 16 равно 256.