Чтобы вычислить период функций, давайте разберем каждую из них по отдельности.

1. Функция y = 5tg(x/4)

• Функция тангенса (tg) имеет период π. Однако, когда аргумент функции изменяется, период также изменяется.
• В данной функции аргумент x делится на 4, то есть мы можем записать это как tg(u), где u = x/4.
• Чтобы найти новый период, нужно умножить исходный период на коэффициент, который стоит перед x. В данном случае это 1/4.
• Таким образом, новый период T будет равен: T = π * 4 = 4π.

Ответ для первой функции: Период y = 5tg(x/4) равен 4π.

2. Функция y = sin²(x/2) + ctg(3x)

• Для начала определим период каждой из составляющих функции.
• Функция sin²(x/2) является квадратом синуса. Период синуса равен 2π, но когда мы изменяем аргумент на x/2, период становится: T = 2π * 2 = 4π.
• Теперь рассмотрим функцию ctg(3x). Период котангенса (ctg) также равен π, и поскольку у нас есть коэффициент 3 перед x, новый период будет: T = π / 3.

Теперь нам нужно найти общий период для обеих функций. Для этого мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) периодов 4π и π/3.

• Период 4π можно представить как 12π/3, а период π/3 уже в нужной форме.
• Теперь ищем НОК (12π/3 и π/3). НОК = 12π/3.

Ответ для второй функции: Период y = sin²(x/2) + ctg(3x) равен 12π/3 = 4π.

Итак, итоговые ответы:

• Период y = 5tg(x/4) равен 4π.
• Период y = sin²(x/2) + ctg(3x) равен 4π.