Как найти интеграл, используя формулу uv - ln v du, для выражения (x^2 + 2)(cos(x/5)dx)?

Алгебра Колледж Интегрирование по частям интеграл формула uv ln v du выражение x^2 + 2 cos(x/5) алгебра математика решение интеграла Новый

Для нахождения интеграла выражения (x^2 + 2)(cos(x/5)dx) с использованием формулы интегрирования по частям, нам нужно определить, какие функции мы будем обозначать как u и dv.

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Теперь давайте выберем:

• u = x^2 + 2 (это будет наша первая функция, которую мы будем дифференцировать)
• dv = cos(x/5)dx (это будет наша вторая функция, которую мы будем интегрировать)

Теперь найдем du и v:

1. Для нахождения du мы продифференцируем u:
2. du = 2x dx
3. Теперь найдем v путем интегрирования dv:
4. Для этого мы интегрируем cos(x/5):
5. ∫ cos(x/5) dx = 5 * sin(x/5) + C (где C - произвольная константа)
6. Таким образом, v = 5 * sin(x/5)

Теперь подставим все найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫ (x^2 + 2) cos(x/5) dx = (x^2 + 2)(5 * sin(x/5)) - ∫ (5 * sin(x/5))(2x) dx

Теперь у нас есть первый член (x^2 + 2)(5 * sin(x/5)) и второй член, который мы должны интегрировать:

∫ (10x * sin(x/5)) dx

Для интегрирования второго члена мы снова можем использовать интегрирование по частям:

• Выбираем: u = 10x, dv = sin(x/5)dx
• Тогда: du = 10dx, v = -5 * cos(x/5)

Теперь подставим в формулу:

∫ 10x * sin(x/5) dx = (10x)(-5 * cos(x/5)) - ∫ (-5 * cos(x/5))(10) dx

Упрощаем:

∫ 10x * sin(x/5) dx = -50x * cos(x/5) + 50 ∫ cos(x/5) dx

Интеграл ∫ cos(x/5) dx мы уже находили ранее и он равен 5 * sin(x/5). Подставляем это значение:

∫ 10x * sin(x/5) dx = -50x * cos(x/5) + 50 * (5 * sin(x/5))

∫ 10x * sin(x/5) dx = -50x * cos(x/5) + 250 * sin(x/5)

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

∫ (x^2 + 2) cos(x/5) dx = (x^2 + 2)(5 * sin(x/5)) + 50x * cos(x/5) - 250 * sin(x/5) + C

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫ (x^2 + 2) cos(x/5) dx = (5(x^2 + 2)sin(x/5) + 50x * cos(x/5) - 250 * sin(x/5) + C