Чтобы найти интеграл ∫ (5x + 12)sin(x/3)dx с использованием метода интегрирования по частям, следуем следующим шагам:

1. Выбор u и dv: Мы выбираем u и dv так, чтобы u был проще в дифференцировании, а dv — в интегрировании. В данном случае мы можем взять:
• u = 5x + 12 (это будет удобно, так как его производная проста)
• dv = sin(x/3)dx (это тоже легко интегрировать)
2. Нахождение du и v: Теперь находим производную u и интеграл dv:
• du = 5dx (производная от 5x + 12)
• v = -3cos(x/3) (интеграл от sin(x/3)dx равен -3cos(x/3), так как мы должны учитывать множитель 1/3 при интегрировании)
3. Применение формулы интегрирования по частям: Формула интегрирования по частям выглядит так:
• ∫ u dv = uv - ∫ v du
4. Подставляем найденные значения:
• Теперь подставим u, du, v и dv в формулу:
• ∫ (5x + 12)sin(x/3)dx = (5x + 12)(-3cos(x/3)) - ∫ (-3cos(x/3))(5dx)
• Упрощаем это выражение:
• = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15∫ cos(x/3)dx
• Теперь необходимо найти ∫ cos(x/3)dx:
• ∫ cos(x/3)dx = 3sin(x/3) + C (где C — произвольная константа)
5. Подставляем интеграл обратно:
• Теперь подставим найденный интеграл обратно в наше выражение:
• = -3(5x + 12)cos(x/3) + 15(3sin(x/3)) + C
• = -3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C

Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ (5x + 12)sin(x/3)dx:

-3(5x + 12)cos(x/3) + 45sin(x/3) + C