Как вычислить производную функции y, которая представлена в виде y = x^8 * ctg(x)?

Алгебра Колледж Производные функций производная функции вычисление производной алгебра 12 y = x^8 * ctg(x) правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = x^8 * ctg(x), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения y = u(x) * v(x) вычисляется по формуле:

(u * v)' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = x^8
• v(x) = ctg(x)

Теперь нам нужно найти производные u' и v'.

1. Находим u':

Производная функции u(x) = x^8 вычисляется по правилу степени:

u' = 8 * x^(8-1) = 8 * x^7.

2. Находим v':

Производная функции v(x) = ctg(x) может быть найдена с помощью известной формулы:

v' = -csc^2(x).

Теперь у нас есть все необходимые производные:

• u' = 8 * x^7
• v' = -csc^2(x)

Теперь можем подставить наши значения в формулу для производной произведения:

y' = u' * v + u * v'

Подставляем найденные значения:

y' = (8 * x^7) * (ctg(x)) + (x^8) * (-csc^2(x)).

Теперь упростим полученное выражение:

y' = 8 * x^7 * ctg(x) - x^8 * csc^2(x).

Таким образом, производная функции y = x^8 * ctg(x) равна:

y' = 8 * x^7 * ctg(x) - x^8 * csc^2(x).