Чтобы найти базисы системы векторов, нам нужно определить, какие из этих векторов являются линейно независимыми. Линейная независимость векторов означает, что ни один из векторов не может быть представлен как линейная комбинация других векторов в данной системе. Мы можем использовать метод Гаусса для приведения матрицы, составленной из векторов, к ступенчатому виду.

Теперь давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

• Составим матрицу из векторов:

    | 1  1  3 |
    | 2  2  6 |
    | 0  3  0 |
    | 0  4  0 |
    

• Применим метод Гаусса для приведения к ступенчатому виду:

    | 1  1  3 |
    | 0  0  0 |
    | 0  3  0 |
    | 0  4  0 |
    

• После приведения мы видим, что векторы a1 и a2 являются линейно независимыми, а a3 зависит от них.
• Таким образом, базисом является {a1, a2}.

• Составим матрицу:

    | 4  8  3  6 |
    | -1 -2 -1 -2 |
    | 3  6  4  8 |
    | -2 -4 -2 -4 |
    

• Применим метод Гаусса:

    | 4  8  3  6 |
    | 0  0  0  0 |
    | 0  0  0  0 |
    | 0  0  0  0 |
    

• Мы видим, что все векторы зависят от a1. Базисом является {a1}.

• Составим матрицу:

    | 1  2  3  4 |
    | 2  3  4  5 |
    | 3  4  5  6 |
    | 4  5  6  7 |
    

• Применим метод Гаусса:

    | 1  2  3  4 |
    | 0  1  2  3 |
    | 0  0  0  0 |
    | 0  0  0  0 |
    

• Здесь a1 и a2 независимы, остальные векторы зависят от них. Базисом является {a1, a2}.

• Составим матрицу:

    | 2  2  6  1 |
    | 1  2  3  1 |
    | -3 -6 -9  1 |
    | 1  2  3  1 |
    

• Применим метод Гаусса:

    | 2  2  6  1 |
    | 0  1  3  0 |
    | 0  0  0  0 |
    | 0  0  0  0 |
    

• Здесь a1 и a2 независимы, остальные векторы зависят от них. Базисом является {a1, a2}.

• Составим матрицу:

    | 3  2  3  4  1 |
    | 2  3  2  3  1 |
    | 3  4  3  4  1 |
    

• Применим метод Гаусса:

    | 1  0  0  0  0 |
    | 0  1  0  0  0 |
    | 0  0  1  0  0 |
    | 0  0  0  1  0 |
    

• Здесь все векторы линейно независимы. Базисом является {a1, a2, a4, a5}.

Таким образом, для каждой системы векторов мы нашли базисы, состоящие из линейно независимых векторов.