2025-10-27 01:14:37
Выясните, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:
- a₁ = (1,2,3), a₂ = (3,6,7);
- a₁ = (4,-2,6), a₂ = (6, -3,9);
- a₁ = (2, -3, 1), a₂ = (3,-1,5), a₃ = (1, -4,3);
- a₁ = (5,4,3), a₂ = (3,3,2), a₃ = (8,1,3);
- a₁ = (4, -5,2,6), a₂ = (2,2,1,3), a₃ = (6, -3, 3, 9), a₄ = (4,-1,5, 6);
- a₁ = (1,0,0,2,5), a₂ = (0,1,0,3,4), a₃ = (0,0,1,4,7), a₄ = (2, −3, 4, 11, 12).
Алгебра Университет Линейная алгебра линейная независимость векторов системы векторов алгебра векторы проверка линейной независимости Новый
2025-10-27 01:15:03
Чтобы выяснить, являются ли данные системы векторов линейно независимыми, мы будем использовать метод проверки их линейной зависимости. Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.
Для проверки линейной зависимости векторов мы можем составить матрицу, строки которой будут векторами, и затем привести её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Если ранг матрицы меньше количества векторов, то они линейно зависимы.
Теперь рассмотрим каждую из предложенных систем векторов:
1. Векторы a₁ = (1,2,3) и a₂ = (3,6,7):- Составим матрицу:
| 1 3 | | 2 6 | | 3 7 | - Приведем к ступенчатому виду. В данном случае видно, что вектор a₂ можно выразить через a₁ (a₂ = 3*a₁), следовательно, они линейно зависимы.
- Составим матрицу:
| 4 6 | | -2 -3 | | 6 9 | - Проверим, можно ли выразить один вектор через другой. Мы видим, что a₂ = (3/2)*a₁, значит, они линейно зависимы.
- Составим матрицу:
| 2 3 1 | | -3 -1 -4 | | 1 5 3 | - Проверим ранг. После приведения к ступенчатому виду мы увидим, что ранг равен 3, что соответствует количеству векторов. Значит, они линейно независимы.
- Составим матрицу:
| 5 3 8 | | 4 3 1 | | 3 2 3 | - Проверив ранг, мы увидим, что он меньше 3. Следовательно, векторы линейно зависимы.
- Составим матрицу:
| 4 2 6 4 | | -5 2 -3 -1 | | 2 1 3 5 | | 6 3 9 6 | - После приведения к ступенчатому виду мы обнаружим, что ранг меньше 4. Следовательно, векторы линейно зависимы.
- Составим матрицу:
| 1 0 0 2 | | 0 1 0 -3 | | 0 0 1 4 | | 2 -3 4 11 | - После приведения к ступенчатому виду мы увидим, что ранг равен 4, что соответствует количеству векторов. Таким образом, они линейно независимы.
В итоге, линейно независимыми являются:
- Система 3: (2, -3, 1), (3,-1,5), (1, -4,3)
- Система 6: (1,0,0,2,5), (0,1,0,3,4), (0,0,1,4,7), (2, −3, 4, 11, 12)
Линейно зависимыми являются остальные системы векторов.