Найдите ∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx

Другие предметы Колледж Неопределённый интеграл интеграл математический анализ колледж интегрирование неопределенный интеграл функции дробные функции корни степени примеры интегралов Новый

Чтобы найти интеграл ∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx, мы разобьем его на три отдельные интеграла, так как интеграл суммы равен сумме интегралов:

• ∫ (2/x³) dx
• - ∫ (4/√x) dx
• + ∫ (3∛(x²)) dx

Теперь будем решать каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Интеграл 1: ∫ (2/x³) dx

Мы можем переписать этот интеграл как:

∫ (2 * x^(-3)) dx

Теперь применим правило интегрирования для степенной функции:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = -3, поэтому:

∫ (2 * x^(-3)) dx = 2 * (x^(-3+1))/(-3+1) = 2 * (x^(-2))/(-2) = -1/x².

Таким образом, первый интеграл равен -1/x².

2. Интеграл 2: - ∫ (4/√x) dx

Мы можем переписать этот интеграл как:

- ∫ (4 * x^(-1/2)) dx.

Применяем то же правило интегрирования:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C.

Здесь n = -1/2, поэтому:

- ∫ (4 * x^(-1/2)) dx = -4 * (x^(-1/2 + 1))/(-1/2 + 1) = -4 * (x^(1/2))/(1/2) = -4 * 2 * √x = -8√x.

Таким образом, второй интеграл равен -8√x.

3. Интеграл 3: + ∫ (3∛(x²)) dx

Мы можем переписать этот интеграл как:

∫ (3 * x^(2/3)) dx.

Применяем правило интегрирования:

Здесь n = 2/3, поэтому:

∫ (3 * x^(2/3)) dx = 3 * (x^(2/3 + 1))/(2/3 + 1) = 3 * (x^(5/3))/(5/3) = 3 * (3/5) * x^(5/3) = (9/5) * x^(5/3).

Таким образом, третий интеграл равен (9/5) * x^(5/3).

Теперь соберем все результаты вместе:

∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx = -1/x² - 8√x + (9/5) * x^(5/3) + C, где C - постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx = -1/x² - 8√x + (9/5) * x^(5/3) + C.