Общество, состоящее из 5 мужчин и 10 женщин, разбивается случайным образом на пять групп по 3 человека. Сколько существует способов такого разбиения, чтобы в каждой грeппе оказался один мужчина?

Другие предметы Колледж Комбинаторика теория вероятностей математическая статистика колледж разбиение на группы комбинаторика случайные события количество способов мужчины и женщины задачи по теории вероятностей статистические задачи Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Разделение мужчин по группам

У нас есть 5 мужчин, и нам нужно распределить их по 5 группам, так чтобы в каждой группе оказался один мужчина. Это можно сделать, выбрав для каждой группы одного мужчину. Поскольку у нас 5 мужчин и 5 групп, количество способов выбрать мужчин для групп будет равно количеству перестановок 5 мужчин, что можно выразить как 5!. Это значит:

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Шаг 2: Разделение женщин по группам

Теперь нам нужно распределить 10 женщин по 5 группам так, чтобы в каждой группе было по 2 женщины. Это можно сделать следующим образом:

• Сначала выберем 2 женщин для первой группы. Количество способов выбрать 2 женщин из 10 равно C(10, 2).
• Затем выберем 2 женщины для второй группы из оставшихся 8 женщин, что равно C(8, 2).
• Продолжим этот процесс для третьей, четвертой и пятой групп, получая C(6, 2), C(4, 2) и C(2, 2).

Общее количество способов распределить женщин будет равно произведению всех этих сочетаний:

• Общее количество способов = C(10, 2) × C(8, 2) × C(6, 2) × C(4, 2) × C(2, 2).

Теперь давайте посчитаем каждое из сочетаний:

• C(10, 2) = 10 × 9 / 2 = 45
• C(8, 2) = 8 × 7 / 2 = 28
• C(6, 2) = 6 × 5 / 2 = 15
• C(4, 2) = 4 × 3 / 2 = 6
• C(2, 2) = 2 × 1 / 2 = 1

Теперь подставим эти значения в общее количество способов:

• Общее количество способов = 45 × 28 × 15 × 6 × 1 = 113400.

Шаг 3: Учет порядка групп

Поскольку порядок групп не важен (группы неразличимы), нам нужно разделить общее количество способов распределения женщин на количество перестановок 5 групп, то есть 5!. Таким образом, итоговое количество способов распределить женщин будет:

• Итоговое количество способов = 113400 / 120 = 945.

Шаг 4: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить результаты из Шага 1 и Шага 2:

• Общее количество способов = (Количество способов выбрать мужчин) × (Количество способов распределить женщин).
• Общее количество способов = 120 × 945 = 113400.

Ответ: Существует 113400 способов разбить общество на 5 групп по 3 человека, чтобы в каждой группе оказался один мужчина.