Чтобы установить соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка, давайте сначала вспомним, что такое характеристическое уравнение и как оно связано с решением дифференциального уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

y'' + p(y') + q(y) = 0

Где y'' - вторая производная функции y по времени t, p и q - функции или константы.

Для такого уравнения мы можем составить характеристическое уравнение, которое обычно имеет вид:

r^2 + pr + q = 0

Здесь r - это корни характеристического уравнения. В зависимости от значений корней r, общее решение будет различным. Рассмотрим три основных случая:

1. Два различных вещественных корня (r1 и r2):

   Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня, то общее решение будет иметь вид:

   y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t)

2. Двойной корень (r):

   Если характеристическое уравнение имеет двойной корень, то общее решение будет записываться так:

   y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(r * t)

3. Комплексные корни (α ± βi):

   Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то общее решение будет выглядеть следующим образом:

   y(t) = e^(α * t) * (C1 * cos(β * t) + C2 * sin(β * t))

Теперь, когда мы разобрали основные случаи, мы можем установить соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением:

• Два различных вещественных корня → y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t)
• Двойной корень → y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(r * t)
• Комплексные корни → y(t) = e^(α * t) * (C1 * cos(β * t) + C2 * sin(β * t))

Таким образом, вы можете сопоставить тип корней с соответствующим общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка.