Похожие вопросы
2025-07-22 00:38:41
Установите соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка:
A. k₁≠k₂
B. k₁=k₂
C. k₁=k₂=a+ib
D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)
Другие предметы Колледж Линейные дифференциальные уравнения второго порядка корни характеристического уравнения общее решение линейное дифференциальное уравнение математика колледж дифференциальные уравнения второго порядка
2025-07-22 00:39:09
Чтобы установить соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка, давайте рассмотрим каждую из ситуаций, в которых могут находиться корни уравнения.
- Ситуация A: k₁≠k₂
- Ситуация B: k₁=k₂
- Ситуация C: k₁=k₂=a+ib
Когда корни характеристического уравнения различны, общее решение имеет вид:
Общее решение: D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)Когда корни совпадают, общее решение имеет вид:
Общее решение: E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣЗдесь c₁ и c₂ - произвольные константы, а k - кратный корень.
Когда корни имеют комплексную форму, общее решение будет представлено в виде:
Общее решение: F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)Здесь a - действительная часть корня, а b - мнимая часть.
Теперь, обобщая все вышесказанное, мы можем установить следующие соответствия:
- A. k₁≠k₂ → D. y = c₁e^(k₁x) + c₂e^(k₂x)
- B. k₁=k₂ → E. y = c₁eᵏˣ + c₂eᵏˣ
- C. k₁=k₂=a+ib → F. y = e^(ax) ⋅ (c₁cosbx + c₂sinbx)
Таким образом, мы установили соответствие между корнями характеристического уравнения и общим решением линейного дифференциального уравнения второго порядка.