Верно ли, что двойной интеграл по объединению двух областей равен сумме соответствующих интегралов

• Да
• Нет

Другие предметы Колледж Двойные интегралы двойной интеграл объединение областей сумма интегралов математический анализ колледж свойства интегралов теорема о сумме интегралов Новый

Да, это верное утверждение. Давайте подробно разберем, почему это так.

Когда мы говорим о двойном интеграле, мы имеем в виду интегрирование функции двух переменных по некоторой области в плоскости. Если у нас есть две области, которые не пересекаются, то двойной интеграл по объединению этих областей действительно равен сумме интегралов по каждой из этих областей.

Рассмотрим два множества A и B, которые представляют собой области в плоскости. Если A и B не пересекаются, то объединение этих областей можно записать как:

• A ∪ B

Теперь мы можем записать двойной интеграл по объединению этих областей следующим образом:

∬(A ∪ B) f(x, y) dA = ∬A f(x, y) dA + ∬B f(x, y) dA

Шаги для понимания этого утверждения:

1. Определение областей: Убедитесь, что области A и B не пересекаются. Это важно, так как если области пересекаются, то часть функции будет интегрироваться дважды.
2. Применение свойства интегралов: Используйте свойство аддитивности интегралов. Это свойство говорит о том, что если область разбивается на непересекающиеся части, то интеграл по всей области равен сумме интегралов по частям.
3. Проверка условия: Убедитесь, что функция f(x, y) интегрируема на обеих областях A и B.

Таким образом, если все условия соблюдены, то можно с уверенностью сказать, что двойной интеграл по объединению двух областей равен сумме соответствующих интегралов.