Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.
1/(5x2+x)-x=0

• 0.53
• 0.11
• 0.0017
• 0.0000011

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность f(x) = 0 решение уравнения численные методы университет математический анализ Новый

Для нахождения корня уравнения f(x) = 0 методом Ньютона, сначала необходимо определить функцию f(x) и её производную f'(x). В данном случае у нас есть уравнение:

f(x) = 1/(5x^2 + x) - x

Теперь найдем производную функции f(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

f'(x) = -1/(5x^2 + x)^2 * (10x + 1) - 1

Теперь, когда у нас есть функция и её производная, мы можем начать итерационный процесс по методу Ньютона. Метод Ньютона описывается следующей формулой:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Выберем начальное приближение x_0. Поскольку у нас есть несколько вариантов, давайте начнем с x_0 = 0.5.

1. Итерация 1:
• Вычисляем f(0.5):
• f(0.5) = 1/(5*0.5^2 + 0.5) - 0.5 = 1/(1.25 + 0.5) - 0.5 = 1/1.75 - 0.5 ≈ 0.42857 - 0.5 = -0.07143
• Вычисляем f'(0.5):
• f'(0.5) = -1/(5*0.5^2 + 0.5)^2 * (10*0.5 + 1) - 1 = -1/(1.75)^2 * 6 - 1 ≈ -0.20408 - 1 = -1.20408
• Теперь находим x_1:
• x_1 = 0.5 - (-0.07143 / -1.20408) ≈ 0.5 - 0.0593 ≈ 0.4407
2. Итерация 2:
• Вычисляем f(0.4407):
• f(0.4407) ≈ 1/(5*0.4407^2 + 0.4407) - 0.4407 ≈ -0.0012
• Вычисляем f'(0.4407):
• f'(0.4407) ≈ -1/(5*0.4407^2 + 0.4407)^2 * (10*0.4407 + 1) - 1 ≈ -1.123
• Теперь находим x_2:
• x_2 = 0.4407 - (-0.0012 / -1.123) ≈ 0.4407 - 0.00107 ≈ 0.43963
3. Итерация 3:
• Вычисляем f(0.43963):
• f(0.43963) ≈ 1/(5*0.43963^2 + 0.43963) - 0.43963 ≈ -0.000001
• Вычисляем f'(0.43963):
• f'(0.43963) ≈ -1/(5*0.43963^2 + 0.43963)^2 * (10*0.43963 + 1) - 1 ≈ -1.121
• Теперь находим x_3:
• x_3 = 0.43963 - (-0.000001 / -1.121) ≈ 0.43963 - 0.00000089 ≈ 0.43962

Мы продолжаем итерации до тех пор, пока |f(x_n)| не станет меньше 0.01. В данном случае, после третьей итерации, мы получили значение x ≈ 0.43962, и f(x) уже очень близко к нулю.

Таким образом, корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с заданной погрешностью не превышающей 0.01 равен примерно 0.43962.