Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ƒ(x) = 0.exp (–x) + x – 2 = 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 ƒ(x) = 0 университет математический анализ Новый

Для решения уравнения ƒ(x) = 0, где ƒ(x) = 0.exp(–x) + x – 2, мы будем использовать метод Ньютона. Этот метод позволяет находить корни уравнений итерационным способом. Давайте рассмотрим все шаги, которые необходимо выполнить для нахождения корня с заданной погрешностью.

Шаг 1: Определим функцию и её производную

Сначала запишем функцию и найдем её производную:

• ƒ(x) = 0.exp(–x) + x – 2 = x – 2 (так как 0.exp(–x) всегда равен 0).
• ƒ'(x) = 1 (производная функции x – 2).

Шаг 2: Выберем начальное приближение

Теперь нам нужно выбрать начальное приближение x0. Для этого можно подставить несколько значений x и посмотреть, где функция меняет знак. Например:

• ƒ(0) = 0 - 2 = -2
• ƒ(2) = 2 - 2 = 0

Таким образом, мы видим, что корень находится между 0 и 2. Выберем x0 = 1.

Шаг 3: Применим метод Ньютона

Формула для метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_n+1 = x_n - ƒ(x_n) / ƒ'(x_n)

Теперь подставим наши значения:

Итерация 1:

• x0 = 1
• ƒ(1) = 1 - 2 = -1
• ƒ'(1) = 1
• x1 = 1 - (-1) / 1 = 1 + 1 = 2

Итерация 2:

• x1 = 2
• ƒ(2) = 2 - 2 = 0
• ƒ'(2) = 1
• x2 = 2 - 0 / 1 = 2

На втором шаге мы получили значение x2 = 2. Поскольку ƒ(2) = 0, мы достигли корня уравнения.

Шаг 4: Проверка погрешности

Теперь проверим погрешность. Поскольку мы получили значение 2 на втором шаге и функция ƒ(2) = 0, это значит, что мы достигли корня с погрешностью, не превышающей 0.01.

Ответ:

Корень уравнения ƒ(x) = 0 с погрешностью, не превышающей 0.01, равен x = 2.