Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L: x^2+y^2 = 1; z=3

• -2П
• 0
• -3П
• 8П

Другие предметы Университет Циркуляция векторного поля циркуляция векторного поля математический анализ линия L интеграл вдоль кривой векторное поле университетская математика вычисление циркуляции Новый

Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль заданной линии L, нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определение векторного поля

Сначала нам нужно определить векторное поле, по которому мы будем вычислять циркуляцию. Предположим, что векторное поле задано в виде F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Если в задаче не указано конкретное поле, то давайте предположим, что оно задано, например, векторным полем F = (y, -x, 0).

Шаг 2: Параметризация линии L

Линия L задана уравнением окружности x^2 + y^2 = 1 в плоскости z = 3. Мы можем параметризовать эту окружность следующим образом:

• x(t) = cos(t),
• y(t) = sin(t),
• z(t) = 3,

где t изменяется от 0 до 2π.

Шаг 3: Вычисление производных

Теперь найдем производные по времени для параметризации:

• dx/dt = -sin(t),
• dy/dt = cos(t),
• dz/dt = 0.

Шаг 4: Подставление в векторное поле

Теперь подставим параметры x(t), y(t) и z(t) в векторное поле F:

F(cos(t), sin(t), 3) = (sin(t), -cos(t), 0).

Шаг 5: Вычисление циркуляции

Циркуляция векторного поля F вдоль кривой L вычисляется по формуле:

Циркуляция = ∫_L F · dr = ∫_0^(2π) F(cos(t), sin(t), 3) · (dx/dt, dy/dt, dz/dt) dt.

Теперь подставим все найденные значения:

Циркуляция = ∫_0^(2π) (sin(t), -cos(t), 0) · (-sin(t), cos(t), 0) dt.

Скалярное произведение равно:

sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))(cos(t)) + 0 = -sin^2(t) - cos^2(t) = -1.

Шаг 6: Интегрирование

Теперь нам нужно вычислить интеграл:

Циркуляция = ∫_0^(2π) -1 dt = -t | от 0 до 2π = -2π.

Ответ:

Циркуляция векторного поля вдоль линии L равна -2π.