Вычислить работу силового поля вдоль параболы y=x^2 от M (0, 0) до N (1, 1)

• 3/7
• 5/3
• 7/2
• 1/2

Другие предметы Университет Работа силового поля математический анализ работа силового поля парабола y=x^2 интеграл вдоль кривой университетская математика Новый

Для вычисления работы силового поля вдоль кривой, в данном случае вдоль параболы y = x^2 от точки M(0, 0) до точки N(1, 1), мы можем использовать определение работы как интеграл от силы по пути.

Шаг 1: Определение параметризации кривой

Парабола y = x^2 может быть параметризована с помощью переменной x. Мы можем взять x как параметр, тогда:

• x = t, где t изменяется от 0 до 1.
• y = t^2.

Таким образом, параметризация будет выглядеть так:

• r(t) = (t, t^2), где t изменяется от 0 до 1.

Шаг 2: Определение вектора силы

Предположим, что у нас есть вектор силы F(x, y). Например, пусть F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), где P и Q - функции, зависящие от координат x и y. Для дальнейших расчетов нам нужно будет знать конкретную форму вектора силы.

Шаг 3: Вычисление производной параметризации

Теперь мы найдем производную параметризации r(t):

• r'(t) = (dx/dt, dy/dt) = (1, 2t).

Шаг 4: Установка интеграла для работы

Работа W, совершенная силовым полем F вдоль кривой C, задается интегралом:

W = ∫_C F • dr = ∫_0^1 F(r(t)) • r'(t) dt.

Здесь "•" обозначает скалярное произведение.

Шаг 5: Подстановка и вычисление интеграла

Подставим F(r(t)) и r'(t) в интеграл. Если, например, F(x, y) = (x, y), тогда:

• F(r(t)) = (t, t^2).
• r'(t) = (1, 2t).

Теперь вычислим скалярное произведение:

F(r(t)) • r'(t) = (t, t^2) • (1, 2t) = t * 1 + t^2 * 2t = t + 2t^3.

Теперь подставим это в интеграл:

W = ∫_0^1 (t + 2t^3) dt.

Шаг 6: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

• ∫_0^1 t dt = [t^2/2]_0^1 = 1/2.
• ∫_0^1 2t^3 dt = [2t^4/4]_0^1 = 1/2.

Таким образом, W = 1/2 + 1/2 = 1.

Ответ: Работа силового поля вдоль параболы y = x^2 от M(0, 0) до N(1, 1) равна 1.