Для определения пути и перемещения материальной точки, движущейся по заданному уравнению x = 2 - 4t + 2t^2, нам нужно выполнить несколько шагов.

Перемещение (Δx) - это разность между конечным и начальным положением точки. Мы можем найти его, подставив значения времени в уравнение движения.

• Сначала определим начальное положение точки в момент времени t = 0:
1. Подставим t = 0 в уравнение:
2. x(0) = 2 - 4(0) + 2(0)^2 = 2.
• Теперь определим конечное положение точки в некоторый момент времени t = T. Для примера возьмем T = 2:
1. Подставим t = 2 в уравнение:
2. x(2) = 2 - 4(2) + 2(2)^2 = 2 - 8 + 8 = 2.
• Теперь найдем перемещение:
1. Δx = x(T) - x(0) = x(2) - x(0) = 2 - 2 = 0.

Путь (S) - это длина траектории, пройденной точкой, и он всегда положителен. Для движения по параболической траектории, как в нашем случае, нужно определить моменты времени, когда точка меняет направление.

• Находим скорость, производя дифференцирование уравнения движения:
1. v(t) = dx/dt = -4 + 4t.
• Находим время, когда скорость равна нулю, чтобы определить моменты изменения направления:
1. -4 + 4t = 0;
2. 4t = 4;
3. t = 1.
• Теперь определим путь, пройденный точкой за промежутки времени [0, 1] и [1, 2]:
1. На первом интервале (t от 0 до 1):
2. x(1) = 2 - 4(1) + 2(1)^2 = 0.
3. Путь на этом интервале: S1 = |x(1) - x(0)| = |0 - 2| = 2.
4. На втором интервале (t от 1 до 2):
5. Путь на этом интервале: S2 = |x(2) - x(1)| = |2 - 0| = 2.
• Теперь суммируем пути:
1. S = S1 + S2 = 2 + 2 = 4.

Перемещение точки равно 0, так как начальная и конечная позиции совпадают. Путь, пройденный точкой, составляет 4 единицы.